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Quand le tempérament va,

 

Le Clavier bien tempéré, c’est d’abord la promotion d’un accord de l’instrument permettant de jouer dans toutes les tonalités, et la démonstration immédiate par 24 compositions épuisant les 24 possibilités.

Ce n’est peut-être pas un hasard si le titre original Das wohltemperirte Clavier est en 24 lettres, ni si le mot forgé par Bach wohltemperirte a 14 lettres (on trouve souvent sur des partitions modernes l’orthographe Das wohltemperierte Klavier, mais la partition autographe de Bach et l’édition originale ne laissent aucun doute).

Dans l’alphabet numérique de 24 lettres prêté à Bach, le titre du recueil se scinde en deux parties de 12 lettres de valeur égale :

DASWOHLTEMPE = RIRTECLAVIER = 133

Quant au mot de 14 lettres, sa valeur 177 correspond au nombre de mesures des ensembles 14 des deux recueils (64 et 113) ; comme 177 se répartit selon la section d’or en 110 et 67, 14 se répartit en 9 et 5, et les 9 premières lettres de wohltemperirte ont la valeur 110 :

WOHLTEMPE = 110   RIRTE = 67

on constate que cette césure survient au milieu exact du titre complet ; elle partage aussi exactement les 5 syllabes du mot en 3 et 2.

 

L’homologation des 24 lettres et des 24 ensembles montre que la première lettre W de ce mot miraculeux tombe sur la tonalité de cis-moll, la seule dont la tonalité (cis=30) soit en rapport d’or avec le mode (moll=48). Le tableau suivant donne les 14 tonalités correspondantes et les nombres de mesures des Préludes et Fugues du premier recueil.

 

 

 

tonalité

 

P

F

P+F

W

 

cis-moll  ””

 

39

115

 

O

 

D-dur      ””

 

35

27

 

H

 

d-moll     ””

 

26

44

 

L

 

Es-dur    ””

 

70

37

 

T

110

es-moll dis-moll

1028

40

87

 

E

 

E-dur      ””

 

24

29

 

M

 

e-moll     ””

 

41

42

 

P

 

F-dur       ””

 

18

72

 

E

 

f-moll      ””       2

 

(22)

(58)

80

R

 

Fis-dur    ””       0

 

(30)

(35)

 

I

 

fis-moll    ””      9

 

(24)

(40)

129

R

67

G-dur      ””

636

19

86

 

T

 

g-moll     ””

 

19

34

 

E

 

As-dur     ””

 

44

35

 

 

177

 

1664

375

608

209

 

Au parfait équilibre sur les valeurs des lettres du mot wohltemperirte correspond un autre parfait équilibre sur les noms des tonalités correspondantes, mais ceci demande quelques éclaircissements.

A la première lettre W correspond donc do dièse mineur ou cis-moll, puis viennent D-dur, d-moll, etc., avec évidemment à chaque fois la fugue dans la même tonalité que le prélude, sauf dans un cas.

Pour l’ensemble 8, à la 5e position ici, le prélude est en mi bémol mineur et la fugue en ré dièse (es et dis). Ceci n’est pas forcément extraordinaire : la différence entre mi bémol et ré dièse était nettement perceptible dans les tempéraments anciens et Bach pouvait montrer par cette double notation au sein d’un même ensemble que son tempérament résolvait tous les problèmes ; il ne la reprendra cependant pas dans le second recueil.

Mais la chose a des conséquences numérologiques. Aux 14 tons des préludes

cis D d Es es E e F f Fis fis G g As

correspond la valeur numérique 205, qui passe à 213 pour les fugues avec dis remplaçant es.

VHK verraient probablement dans 213 le 21/3, la naissance, et dans la moyenne 209 le 209e jour de l’année, la mort : tout BACH résumé en 14 tonalités…

Si on écrit les noms complets des tonalités, il faut ajouter aux 205 et 213 précédents 14 fois les valeurs 41 de dur et 48 de moll pour avoir la somme des 28 tonalités des préludes et fugues, soit 1664.

Je ne sais quelle était la bière favorite de Bach, mais le partage de 1664 selon le nombre d’or donne 1028 et 636, et c’est exactement ce qu’on trouve pour le partage des 14 ensembles en 9 et 5, correspondant au partage WOHLTEMPE-RIRTE.

 

Les 14 ensembles totalisent 1192 mesures dont le partage d’or idéal serait en 737 et 455. Les 8 premiers ensembles totalisent 746 mesures. Il y aurait mieux avec les 14 fugues totalisant 741 face aux 451 des préludes, mais il y a un partage parfait possible en isolant les 209 mesures déjà repérées des ensembles 12-13-14. Les 983 mesures restantes sont idéalement partagées en 608 pour les fugues et 375 pour les préludes.

 

S’intéresser aux correspondances du mot Wohltemperirte mène naturellement à s’intéresser aux deux autres mots du titre.

A Das correspondent 3 préludes de 35-38-104 mesures, en tout 177, valeur de Wohltemperirte ou nombre de mesures des 4 pièces de rang 14 (24-40-43-70). Les fugues correspondantes ont 27-31-55 mesures, en tout 113, le nombre de mesures des pièces 14 du recueil II (43-70).

A Clavier = 66 correspondent 14 pièces totalisant 606 mesures (sans répéter le prélude 24). Clavier, s’il faut le rappeler, vient du latin clavis, « clé ».

A Das correspondent les tonalités CcCis, à Clavier gisAaBbHh. Ainsi le mot de 14 lettres apparaît symétriquement au milieu des tonalités BACH, séparé d’elles par une tonalité unique (Cis et gis, quinte de Cis).

 

D’autres petites choses en bref.

La figure essentielle des ensembles 12-13-14 est légèrement décalée par rapport au centre 12-13 des 24 ensembles. En ne retenant que la propriété (12) section d’or de (13+14), soit 80 section d’or de 129, il est remarquable de trouver cette même propriété pour, et c’est le seul autre cas, (11) par rapport à (12+13), soit 90 section d’or de 145. Ce sont, multipliés par 5, les nombres 18 et 29, termes de la suite de Lucas qui semblent avoir une importance immédiate dans le recueil I : les termes suivants sont 47 et 76 qui se trouvent correspondre aux derniers prélude et fugue, et les 2088 mesures du recueil peuvent se factoriser en 4x18x29, trois nombres de Lucas.

Aux 299 mesures totales de ces 4 tonalités médiales en fa et fa dièse du volume 1 correspondent curieusement 598 mesures dans le volume 2, le double.

 

A propos du dernier ensemble du volume 1, on sait que le prélude est à reprises, et qu’il compte donc à l’exécution 47+47+76 = 170 mesures, soit 5 fois 34, terme de la suite de Fibonacci. Il est remarquable de trouver deux autres ensembles correspondant aux quintuples des termes précédents, constituant donc une autre série d’or :

13 : 30 + 35 =   65 = 5 x 13 (et c’est le 13e ensemble)

15 : 19 + 86 = 105 = 5 x 21

24 : 94 + 76 = 170 = 5 x 34

Ce sont les seuls ensembles en rapport d’or du recueil. Il est étonnant qu’ils forment une série, et Réellement Remarquable qu’à leurs rangs 13-15-24 correspondent les seuls R du titre « Das wohltempeRiRte ClavieR »…

Note ultérieure : en relisant j’ai trouvé ce dernier point si extraordinaire que j’ai voulu revérifier, et j’ai alors découvert qu’il y avait deux autres couples en rapport d’or, les 78 mesures de (PF19) correspondent à la section d’or optimale des 127 mesures de (PF8), soit 78,49… mesures. C’est un moins bon rapport que (PF24)/(PF15) ou (PF15)/(PF13), et il y aurait moyen de ne retenir que ces couples en choisissant les seuls cas où le plus grand élément corresponde optimalement au petit multiplié par le nombre d’or (78 x 1.618 = 126.2… à arrondir à 126), mais le couple 8-19 offre de telles harmonies que je me sens incapable de les départager avec les Ratios des RRR.

Ainsi dans ce couple 8-19 ce ne sont pas seulement les totaux P+F qui sont en rapport d’or optimal, mais les préludes entre eux et les fugues entre elles. De fait les mesures des préludes correspondent au 24-40 mesures du PF14 du premier volume. Quant aux fugues, elles correspondent, multipliées par 3, aux termes 18-29 de la suite de Lucas 1-3-4-7-11-18-29 qui se poursuit par 47 et 76, soit le PF24 (sans reprises). L’intrication des rapport d’or entre PF avec les rapports d’or entre P et F devient plus flagrante quand on considère le couple PF13-PF15 (admettons que le PF24 est particulier puisqu’il n’entre dans ces jeux qu’avec les reprises) :

rang

P

F

PF

8

40

87

127

19

24

54

78

13

30

35

65

15

19

86

105

Les préludes 13 et 15 sont également en rapport d’or, mais inversement au rapport PF15/PF13. Il n’y a ainsi pas de relation simple entre F13 et F15, mais une relation existe néanmoins entre P13+P15 et F13+F15, 49 et 121, carrés de 7 et de 11 termes de la suite de Lucas.

Le plus joli est la combinaison entre les préludes, P19+P15 = 43, P8+P13 = 70, correspondant au 43-70 mesures du PF14 du second volume. Ainsi ces 4 préludes issus d’une recherche sur les ensembles PF amènent 4 nombres deux à deux en rapport d’or permettant de décrire les 2 ensembles PF 14, les deux seuls à l’intérieur desquels existe un rapport d’or entre P et F (en considérant toujours à part PF24 du premier volume). Ceci rappelle étrangement la recherche sur les rapports d’or entre tonalités sur les deux volumes réunis, menant aux 4 tonalités à l’intérieur desquelles existent des relations d’or de types divers, et appelle à se pencher sur ce qui pourrait se passer d’analogue dans le second volume, avec un nouveau prodigieux résultat à courir étudier ici.

Les curiosités du tableau précédent ne sont pas épuisées, car la somme des rangs des 4 tonalités considérées est 55, dont la moyenne 13.75 s’arrondirait à 14, la tonalité dorée idéale. On pourrait déplorer de ne pas avoir 56 de moyenne exacte 14, mais ce 55 peut apporter un surcroît de sens car les sommes des rangs pour les préludes « forts » sont 8+13 = 21, parfaite relation fibonaccienne, et pour les préludes « faibles » 15+19 = 34, le nombre de Fibonacci suivant 21, c’est-à-dire qu’on a ici une inversion analogue à celle des préludes des ensembles PF 13-15.

 

 

BACH héla VERNE

 

Une petite curiosité dont le rapport avec ce qui précède n’est peut-être pas évident, mais…

Je suis un grand lecteur de Jules Verne, où je décèle, après d’autres, de très grandes subtilités d’écriture.

Rien à première vue qui concerne le nombre d’or, sauf un cas, et qui a un rapport immédiat avec Bach.

En 1895 est paru L’Ile à hélice, le roman de Verne qui a le plus de rapport avec la musique, ses héros étant les membres du Quatuor Concertant, embarqués dans des péripéties autour du monde qui ne sont pas toujours dignes du meilleur Verne.

Mais ce qui m’occupe est la composition du Quatuor, formé de

- Sébastien Zorn, violoncelle, 55 ans, le chef

- Yvernès, premier violon, 32 ans

- Frascolin, deuxième violon, 30 ans

- Pinchinat, alto, 27 ans

Au 19e siècle, et plus tard encore, Bach était connu en France comme « Sébastien Bach », et « Sébastien Zorn » l’évoquait forcément, d’autant que dans son nom de 4 lettres la voyelle occupe la même position que dans Bach. On remarque que son premier acolyte laisse lire les lettres VERNE.

Enfin ce qui m’importe au premier chef est la somme des âges de ses trois accompagnateurs, 89 ans, 55 et 89 étant des nombres de Fibonacci, dont le rapport approche le nombre d’or mieux qu’aucune autre paire de nombres voisins.

Je ne prétends aucunement que ce soit autre chose qu’un hasard, mais j’incline par ailleurs à penser que les relations vues chez Bach restent fort éloignées d’un calcul conscient de sa part, alors…

Peu d’autres indices sur cette piste dans ce roman, sinon qu’il est construit en deux parties de 14 chapitres chacune, et que cette « île », Standard Island, est administrée par Calistus Munbar, anagramme transparente de Barnum ; la syllabe sensible « bar » (proche de Bach) est demeurée identique ; si Verne avait effectué un simple échange de syllabes, Numbar aurait été fort proche de number, « nombre ».

Standard Island… Dans une nouvelle contemporaine, M. Ré-dièze et Mlle Mi-bémol (1893), Verne rappelle l’origine de la note SI acronyme de Sancte Ioannes. Selon les manuscrits préparatoires, Verne a d’abord envisagé de nommer son île Screw Island (dont l’acronyme était déjà SI), soit une traduction exacte de Ile à Hélice, mais screw est aussi un mot très grossier en argot… 

Cette histoire de ré dièse et mi bémol n’a nul besoin d’avoir un rapport avec le problème es-dis du Clavier bien tempéré, mais il est bien plus curieux de trouver dans cette nouvelle l’organiste Eglisak, contrapontiste sans rival, auteur d’une fugue à quatre parties qui reste à jamais inachevée. Le lecteur n’en sait rien d’autre, mais si par parties Verne entend une fugue à 4 voix ceci n’a rien d’exceptionnel et il existe de nombreuses fugues à 5 voix, et au moins une à 6 ; s’il s’agit d’une fugue à 4 thèmes, on ne peut que songer à la dernière fugue inachevée, longtemps connue comme Fugue à trois sujets, mais en 1881 Nottebohm montrait qu’à ces trois sujets se superposait le Grand Thème structurant L’Art de la fugue, et qu’en conséquence il s’agissait d’une prodigieuse fugue à 4 thèmes ou sujets concluant l’œuvre.

L’expédition polaire des Aventures du capitaine Hatteras, le second roman publié de Verne (1864), ne connaît que 5 survivants :

Johnson (Johann est le prénom commun à presque tous les Bach)

Bell

Altamont

Clawbonny

Hatteras lui-même, le seul dont le prénom est donné au lecteur, John (comme Sébastien est le seul prénom connu des membres du Quatuor Concertant).

 

Et SI ? (mais non)

 

Il existe assez peu de romans où le Nombre d’or soit évoqué. Le plus ancien que je connaisse est Les sœurs Lacroix (décembre 1937) de Simenon. Dans sa préface à La Marie du port écrite deux mois plus tôt, Simenon déclarait chercher une vérité que d’autres avaient trouvée, tels Rembrandt et Sébastien Bach…

Les sœurs Lacroix sont la femme et l’amante du peintre Emmanuel Vernes, qui a écrit d’étranges Recherches sur le Nombre d’Or dont elles ne sauront que faire après sa mort, qu’elles veulent faire constater par le docteur Jules.

 

achevé le 03/12/03