L’ivre Bach
Mes pages précédentes m’ont amené à distinguer 4 doubles ensembles Prélude-Fugue dans les deux volumes du Clavier bien tempéré, où il apparaît des relations d’or entre les nombres de mesures de pièces données. Je récapitulerai plus loin.
Il se trouve que pour ces 4 ensembles les nombres de mesures totaux sont eux-mêmes deux à deux en relation d’or, ce qui est tout à fait extraordinaire car il n’y a en principe aucune corrélation entre ces types de relations, horizontaux et verticaux. N’importe quel total pourrait être issu de termes présentant des relations d’or entre eux.
Mieux, ces deux couples de totaux, 179-289 et 177-287, encadrent le couple 178-288 qui n’est pas quelconque : ces nombres sont les doubles de 89 et 144, termes d’ordre 11 et 12 de la série de Fibonacci[1], ce qui signifie qu’il n’existe pas d’entiers inférieurs dont le rapport soit plus proche du nombre d’or. Ainsi les poids moyens des ensembles PF en cause, où typiquement une relation d’or existe entre le prélude et la fugue, offrent-ils une relation d’or idéale, relation qui d’ailleurs apparaît aussi pour les relations internes aux PF d’ordre 1 et 14 de moyenne 89 :
– les 4 préludes (35+34+24+43=136) ont pour moyenne 34
– les 4 fugues (27+83+40+70=220) ont pour moyenne 55
– 34 et 55 sont les deux termes de Fibonacci précédant 89.
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ton |
P1 |
F1 |
P2 |
F2 |
total |
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1 |
C dur |
35 |
27 |
34 |
83 |
179 |
|
4 |
cis moll |
39 |
115 |
62 |
71 |
287 |
|
14 |
fis moll |
24 |
40 |
43 |
70 |
177 |
|
24 |
h moll |
47 |
76 |
66 |
100 |
289 |
Je rappelle que 22 ans séparent les deux volumes du Clavier bien tempéré (1722 et 1744). Il serait fantastique sinon absurde que Bach ait prévu une harmonie numérique à aussi long terme, mais je serais bien en peine d’évaluer l’improbabilité de cette aberration, alors que le calcul des probabilités permet de chiffrer la coïncidence précédente. S’il y a 4 ensembles PF1PF2 parmi 24 offrant des relations d’or internes et 4 ensembles en relation d’or entre eux, la probabilité que ces ensembles coïncident est d’1 chance sur 10626.
Ceci ne signifie pas qu’il y a 10625 chances contre 1 pour que Bach ait effectivement choisi ces nombres avec une intention dorée, mais invite néanmoins à considérer une hypothèse de ce type avec plus d’attention que si elle était associée à une probabilité moindre. Si l’étude approfondie apporte quelques bémols à cette estimation, les dièses sont encore plus nets, à commencer par les rangs des ensembles concernés :
– le premier et le dernier ;
– le 14e, sachant que 14 serait le chiffre de BACH, la somme de ces lettres de rangs 2-1-3-8 qui sont aussi des notes dans la notation allemande ;
– le 4e enfin, alors que le 4 intervient partout, 4 lettres BACH, 4 ensembles, 4 morceaux dans chaque ensemble, des totaux correspondant aux termes de la série de Fibonacci multipliés par 4.
Les 4 ensembles sautent aux yeux de l’amateur de nombres de Fibonacci, mais il se trouve qu’il y en a deux autres qui sont en relation d’or, le second de 125 mesures (38+31+28+28) et l’avant-dernier de 203 mesures (19+34+46+104). Le rapport est un peu moins bon que les autres (203/125 = 1,624, alors que 289/179 = 1,615 et 287/177 = 1,621 qui ensemble donnent une excellente approximation 1,618). Peut-être faudrait-il adapter le critère de sélection pour éliminer cette paire supplémentaire, mais il n’est pas sûr qu’elle ne soit pas significative. Elle complète ainsi la paire formée par les premier et dernier ensemble, ainsi les deux tonalités de si, majeure et mineure, sont en rapport d’or avec les deux tonalités de do, mineure et majeure. Par ailleurs les totaux de mesures concernés impliquent le plus grand (289 de h-moll) et le plus petit (125 de c-moll).
Note ultérieure : une 4e paire de tonalités en rapport d’or m’avait échappé, et l’étude systématique de tous les rapports d’or entre tonalités mène à ces résultats absolument essentiels.
Au cœur de ces extrêmes apparaît une possibilité d’harmonie d’or pour les deux paires de tonalités médiales, étudiée ici.
Ce sont les 47-76 mesures du PF 24 du premier volume qui m’ont amené à étudier les proportions d’or dans le premier volume du CBT, dans une page un peu provocatrice qui montre au moins qu’il y a des choses à dire sur la question. Je ne m’y intéressais pas du tout au second volume, où le dénombrement des mesures pose quelques problèmes, le hic principal apparaissant d’ailleurs pour le P 24 conclusif. Il en existe deux versions, en 33 et 66 mesures, identiques du point de vue de l’exécution, mais ce doute perturbant m’avait dissuadé de chercher des relations numériques d’ensemble dans ce second volume, jusqu’au moment où j’ai entrevu la fantastique possibilité des quatre ensembles et où il est devenu important de trancher. Renseignements pris, il semble que les musicologues aient récemment éclairci ce point, au très net profit de la version en 66 mesures[2].
Ce 66 admis mène donc à 47-76-66-100 pour l’ensemble des pièces 24. Le couple 66-100 n’est guère satisfaisant du point de vue doré (166 mesures se répartiraient idéalement en 63 et 103), mais il est tout de même plus aisé de le considérer sous cet angle que le couple 33-100.
Mais j’ai sauté quelques étapes. Avant d’être amené à m’intéresser à ce couple peu satisfaisant 66-100 j’ai eu l’idée d’examiner les 48 paires Prélude-Fugue des deux volumes pour voir s’il existait d’autres exemples que 47-76 présentant un découpage d’or optimal.
Il est remarquable que ce soient les PF 14 des deux volumes, et eux seuls, qui soient dans ce cas, et cette page étudie d’autres propriétés de ces deux paires (24-40 et 43-70).
J’ai ensuite découvert une autre relation double pour les PF 4, où le nombre de mesures du Prélude du volume 1 correspond à la section d’or[3] du Prélude du volume 2, et c’est l’inverse pour les Fugues, 39-62 et 71-115. Je vis aussi le rapport d’or du total des mesures, 287, au total des mesures des PF 14, 177, ce qui m’amena, en écho aux thèses délirantes de Van Houten, aux découvertes absurdes relatées ici : les dates de naissance et de mort de Bach obéissent aussi à la section d’or, et cette relation apparaît magnifiquement inscrite dans le premier volume du CBT.
Le bon sens demanderait peut-être de se limiter à étudier ce qui a quelque chance d’avoir correspondu à des intentions effectives de Bach, mais il ne me semble pas inutile de montrer que, des hypothèses absurdes amenant à espérer certains motifs numériques très précis, ces motifs apparaissent là précisément où on les cherche ! Ceci relativise pour le moins les résultats « sensés » obtenus par ailleurs, et pose de sérieuses questions d’ordre plus général…
Enfin la dernière étape a été initiée par le livre de Guy Marchand, La Passion selon Jean-Sébastien : de Luther au nombre d’or. Marchand n’étudie les rapports qu’à l’intérieur d’une pièce unique, ce qui certes se justifie mais laisse place à la subjectivité. Si son sujet est la musique religieuse, une section de son livre est consacrée à l’examen de toutes les études consacrées au nombre d’or chez Bach (plus de 90 publications !), et il semble que parmi les 96 pièces du CBT seuls les Préludes 1 aient attiré l’attention des commentateurs.
Michael Linton propose donc de découper les 34 mesures, nombre de Fibonacci, du P1 du volume 2 en 21 et 13, ce qui ne semble guère pertinent selon Marchand que j’approuve.
Richard Rogers voit un point crucial des 35 mesures du P1 du volume 1 à la 22e mesure, la première débutant par une note diésée à la basse. Marchand semble enclin à accepter ce cas[4], et souligne que ce fameux prélude est formé de 34 mesures d’arpèges de doubles croches suivies d’un accord final sans lequel on aurait donc une section parfaite du Fibonacci 34 en 21 et 13.
Ce sont donc chaque fois 34 mesures qui ont suscité ces hypothèses dorées, or je me suis avisé que les fugues correspondantes totalisaient 27+83 = 110 mesures, deux fois 55, le nombre de Fibonacci succédant à 34. C’est étonnant dans le cadre des hypothèses sur les préludes correspondants, mais il est ébouriffant que le nombre 110 apparaisse également dans les deux ensembles 4 et 14 vus précédemment (dont les relations d’or globales sont 287 = 177+110 et 177 = 110+67). Et la mesure de trop du prélude 1 du volume 1 se trouve idéalement compensée par le déficit d’une autre mesure dans le prélude 14 correspondant (le rapport 40/25 serait meilleur que le rapport effectif 40/24).
Voyant les 179 mesures de l’ensemble 1, je me suis pris à rêver d’un ensemble de 289 mesures qui viendrait compléter cette harmonie. Je ne sais comment qualifier le fait que cet ensemble existe, et que ce soit le premier où j’ai distingué une relation d’or (76/47). L’harmonie de l’édifice ne change rien à la déplorable qualité de l’autre relation de cet ensemble 24 (100/66), mais je suggère de la considérer avec indulgence, et il n’est pas impossible que les diverses anomalies qui perturbent l’approche immédiate de cet édifice mènent à d’autres niveaux de sens, ce que je vais tenter d’aborder.
Je remarque cependant que malgré ces anomalies perturbantes je suis parvenu à distinguer cette harmonie, à partir des relations individuelles entre pièces. La chose aurait sans doute été plus facile à partir des nombres de mesures des ensembles, où les anomalies sont identiques : une mesure de plus ou de moins que les doubles des Fibonacci 89 et 144.
L’une des premières questions se posant après la découverte des 4 ensembles dorés est : que se passe-t-il pour le reste, pour les 20 autres ensembles non dorés ?
Le doute du nombre exact de mesures de certaines pièces du volume 2 existe toujours, néanmoins le résultat le plus immédiat mérite attention, utilisant les nombres de mesures donnés par la plupart des partitions actuelles, dont je donne le tableau ici. Ainsi les deux volumes contiendraient donc en tout 5132 mesures, et en laissant de côté les 932 mesures des 4 ensembles dorés il reste 4200 mesures pour les 20 autres ensembles, soit 210 mesures exactement en moyenne pour chaque ensemble, ou 105 mesures pour chaque paire Prélude-Fugue.
Ces 4200 mesures se répartissent en 1685 pour le volume 1, où le décompte ne pose aucun problème, et 2515 pour le volume 2. Je rappelle que Bach est né en 1685, nombre se factorisant en deux facteurs premiers, 1685 = 5 x 337 ; or les 20 préludes totalisent 674 mesures, 2 x 337, et les 20 fugues 1011 mesures, 3 x 337.
Je ne vois rien d’aussi immédiat pour 2515 du volume 2, où ce sont plutôt les 529 mesures des 4 paires PF qui me semblent receler quelque chose, se répartissant en 205 pour les Préludes et 324 pour les Fugues, ce qui n’est pas loin du partage d’or idéal de 529 en 202 et 327. Il est étrange que ces écarts de 3 mesures correspondent aux écarts au partage d’or idéal des 166 mesures du PF24 en 63 et 163 (66 et 100 effectif).
Revoici le tableau donné plus haut, avec les totaux par colonnes :
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|
|
ton |
P1 |
F1 |
P2 |
F2 |
total |
|
1 |
D |
C dur |
35 |
27 |
34 |
83 |
179 |
|
4 |
W |
cis moll |
39 |
115 |
62 |
71 |
287 |
|
14 |
I |
fis moll |
24 |
40 |
43 |
70 |
177 |
|
24 |
R |
h moll |
47 |
76 |
66 |
100 |
289 |
|
|
|
|
145 |
258 |
205 |
324 |
932 |
Ceci induit une corrélation insoupçonnée jusqu’ici : puisque par définition P14 et F14 sont en rapport d’or il s’ensuit que les sommes P1+P4 et F1+F4 le sont aussi, et 34+62 = 96 représente la section d’or de 83+71 = 154, alors que c’étaient des relations d’or avec les PF du volume 1 qui avaient permis de distinguer ces ensembles. Il est étonnant de retrouver les nombres 62 et 154 dans les sommes des PF correspondants du volume 1 (35+27 et 39+115), ce qui peut mener à tout un jeu d’autres relations croisées que je laisse de côté[5].
Mais le rapport 100/66 reste toujours aussi déplorable, et est donc seul responsable du déséquilibre dans le partage des 529 mesures des PF du volume 2. Il me semble notable que 529 soit un carré, et que ce partage déplorable fasse apparaître un autre carré, 324, du fait de la présence d’un carré encore, 100 (au lieu de 103 optimal). 324 et 529 sont les carrés de 18 et 23, dont la présence simultanée est parfois considérée comme une signature bachienne (comme dans les deux premières variations de Von Himmel hoch), d’autant que 18+23 = 41 = JS BACH ; or ce carré de 18 est extrait des 24 fugues du volume 2 qui totalisent selon les comptes usuels 1681 mesures, carré de 41.
Une autre approche fait intervenir les carrés. La relation globale harmonisant les 4 ensembles se réduit au rapport des 11e et 12e nombres de Fibonacci, 89 et 144, ce dernier étant précisément le carré de 12, et c’est le seul nombre de la série de Fibonacci qui soit un carré. Il est remarquable de le trouver ici multiplié par 4, carré archétypal, pour donner donc 576 carré de 24, alors que ce 576 est obtenu par l’addition des ensembles 4 et 24 (287+289[6]).
Donc 89+144 égale 233, 13e nombre de Fibonacci, qui comme tout Fibonacci de rang 2N+1 est la somme des carrés des Fibonacci de rangs N et N+1, soit 233 = 82 + 132 = 64 + 169. La différence de ces carrés est 105, qui par le jeu de simples relations algébriques est le produit des deux Fibonacci encadrant 8 et 13, 5 et 21.
Je rappelle que les 48 paires PF se répartissent en
– 4 paires de moyenne 89
– 4 paires de moyenne 144
– 40 paires de moyenne 105
avec 89+144 = 233 = 64+169 dont la différence est 105.
La 40e paire PF (la 16e du volume 2) a précisément 105 mesures, réparties en 21 pour le prélude et 84 pour la fugue, ce qui peut souligner l’aspect 105 = 5 x 21.
Détail ahurissant, ces deux approches faisant intervenir les carrés peuvent être reliées, car une suite de type Fibonacci (où chaque terme est la somme des deux précédents) débutant par 18 et 23 se poursuit ainsi :
(5) 18 23 41 64 105 169…
J’ai découvert cette curiosité parce que j’avais calculé les termes de cette suite dont le 12e terme est 1877, nombre de notes des PF1 du second volume, que j’avais comptées parce que Linton voyait le nombre de notes du Prélude confirmer ses supputations, et parce que le total correspondant du volume 1 est un nombre « bachien », 1283. Plus de détails ici sur ces nombres.
Il me reste à expliciter mon titre, où IVRE doit d’abord être compris comme anagramme de VIER, « quatre » en allemand. Il n’est pas indifférent que Bach ait donné à son exploration des 24 tonalités un titre de 24 lettres, DAS WOHLTEMPERIRTE CLAVIER, or en imaginant une correspondance terme à terme, les 4 ensembles 1-4-14-24 correspondraient aux lettres DWIR, qui n’a pas un sens absolument immédiat, mais il est frappant que de simples décalages complémentaires d’une lettre puissent en faire EVIR, qui devient (wird en allemand) aisément VIER.
Le titre choisi par Bach se termine par VIER, et j’avais noté dans ma première étude que les 4 dernières fugues du volume 1 totalisaient 233 mesures. Ainsi 4 pièces VIER offrent ce 233 qui est la moyenne des 4 x 4 pièces des ensembles DWIR (932 = 233 x 4).
J’avais noté les 233 mesures de ces fugues car elles étaient précédées de 7 fugues totalisant 377 mesures, soit le nombre de Fibonacci suivant : le rapport 377/233 approxime le nombre d’or à un 50000e. Je n’étais pas alors conscient que ces 11 fugues couraient de F14 à F24, les deux fugues du volume 1 dont les préludes représentent les sections d’or[7].
le 24/02/04, pour Blandine,
Rémi Schulz
[1] Il est attesté que Bach était un esprit ouvert à la science et notamment aux maths ; il est ainsi probable qu’il ait lu Kepler, pour qui le nombre d’or était un des deux joyaux de la géométrie, et qui a été le premier à voir le rapport de la suite de Fibonacci avec le nombre d’or (dans ses Harmonices Mundi).
Si les jeux gématriques que l’on prête à Bach ont quelque réalité, il ne pouvait qu’être séduit par le nombre 144 correspondant à la valeur de ses prénoms (JOHANN SEBASTIAN = 58+86 = 144).
[2] Il n’existait jadis qu’une source essentielle du second volume, une copie d’Altnikol, gendre de Bach, où le prélude du BWV 893 est en doubles croches et a 33 mesures. A la fin du 19e siècle a été découverte une copie de ce second livre de la main même de Bach, avec le prélude en croches simples et 66 mesures. Il a été longtemps pensé que Bach avait transformé 66 en 33, mais l’examen minutieux de l’autographe montre que c’est le contraire qui est vrai, et que Bach et Altnikol ont chacun copié à partir d’une version en doubles croches (dont on ne peut dire d’ailleurs si elle était en 33 ou 66 mesures, Altnikol ayant pu mal comprendre une directive de Bach). La seule conclusion certaine qu’on puisse en tirer est que Bach n’accordait pas d’importance au nombre 33 retenu ici par Van Houten pour cette pièce, qui lui sert avec une autre acrobatie à « découvrir » un nombre clé rosicrucien pour l’ensemble des préludes 2.
[3] C’est-à-dire que le rapport du plus grand élément au plus petit est aussi proche que possible du nombre d’or, 1,618 avec 3 décimales bien suffisantes ici.
En fait j’ai plutôt choisi au départ d’étudier le rapport de l’ensemble au plus grand élément, par exemple 40 est bien la meilleure section d’or de (24+40) alors que la meilleure section d’or de 40 est 25.
Le rapport de deux nombres entiers ne peut être qu’une approximation du nombre d’or, et il arrive que deux relations parfaites couplées donnent une relation imparfaite, ainsi les couples parfaits 40-64 et 70-113 des PF 14 donnent une relation imparfaite 110-177 (la meilleure section de 177 serait 109). Je propose d’étendre l’idée de relation acceptable aux couples où le petit élément diffère de moins d’une unité de la section d’or idéale calculée à partir du grand élément (par exemple 177/1,618 = 109,39 ; 109 et 110 sont acceptables).
[4] Enfin son attitude n’est pas très claire, et la présence d’un premier dièse sur la première note d’une mesure (alors que d’autres notes ont été diésées auparavant) est une distinction plutôt faiblarde. J’ai d’abord vu une belle coïncidence dans le fait que cette note diésée était un fis, alors que j’ai appris l’existence de ce livre juste après avoir découvert les relations d’or des PF en fis, et aujourd’hui je vois une autre coïncidence dans le fait que cette révélation a eu lieu pendant un concert consacré à la tonalité de si mineur, qui a été à la fois le départ et l’arrivée de cette investigation.
[5] Ainsi s’il n’apparaît pas de relation d’or dans le groupe de 216 mesures des PF 1 et 4 du volume 1, il est remarquable que la partition idéale de 216, 83-133, apparaisse dans le second volume par les 83 mesures de F1 et les 62+71 mesures de PF4. Seuls les triades 62-71-83 et 21-62-133 offrent cette harmonie.
[6] 289 n’est autre que le carré de 17. La proximité avec la moitié du carré de 24 (ou le double du carré de 12) a une importance algébrique liée à la racine carrée de 2, qui est aussi la division sacrée, proportion architecturale plus sûrement utilisée par l’architecture ancienne que la proportion d’or.
[7] Il est encore confondant que les lettres correspondant à ces 11 fugues, IRTE CLAVIER, totalisent la valeur 116, ce qui correspond aux 40 et 76 mesures des fugues 14 et 24.
Sur le manuscrit autographe du premier volume du CBT, Bach a noté lui-même deux nombres de mesures, les 27 de F1 et les 39 de P4, qui appartiennent aux deux autres ensembles où les relations d’or ne sont perceptibles que grâce aux compléments du volume 2.