retour index principal

retour index Bach

 

Pénultièmes

 

Pour Jean-Bernard Condat et Guy Marchand,

pionniers du nombre d’or en musique,

 le 17 janvier 09,

 

 

Voici l’état actuel de mes recherches sur les relations d’or entre tonalités dans le Clavier bien tempéré. S’il me semble assez indispensable de connaître au moins cette page, je vais commencer par rappeler en détail la relation essentielle concernant les tonalités dans les deux volumes réunis, point de départ des nouveautés abordées ensuite.

 

Le calcul immédiat livre donc 4 relations d’or parmi les 24 totaux correspondant à chaque tonalité, avec une première particularité :  sont présentes les 3 tonalités totalisant les plus grands nombres de mesures (289-287-283), et celle en totalisant le moins (125). L’examen conduit à un bel équilibre : le total des mesures correspondant à cette dernière relation d’or (328 = 203+125) correspond à la différence entre les 3 tonalités les plus lourdes et leurs mineures dorées (289+287+283 –179–177–175 = 328 = 203+125).  

 

ton

N°

P1

F1

P2

F2

total

h

24

47

76

66

100

289  

cis

4

*39

#115

*62

#71

287

b

22

24

75

83

101

283

totaux :

P2 à

F2 à

321

538

859

C

1

35

27

34

83

179

fis

14

24

40

43

70

177

a

20

28

87

32

28

175

totaux :

P2 à

F2 à

196

335

531

 

H

23

19

34

46

104

203

c

2

38

31

28

28

125

 

Ceci permet de lier l’ensemble de ces relations dorées, la mineure de l’une constituant la majeure de la suivante, faisant apparaître ce qui pourrait ressembler à une signature (les tonalités sont rangées par poids décroissants) :

     h-cis-b / C-fis-a = 859 / 531

C-fis-a / H-c = 531 / 328

 H-c / H = 328 / 203

    H / c = 203 / 125

 

 Il y avait de fait déjà 4 tonalités BACH parmi les 3 relations lourdes, telles que h/C et b/a encadraient cis/fis, soient les tonalités 4 et 14, remarquables parce que les 4 lettres du nom BACH totalisent la valeur 14, et parce qu’à l’intérieur de ces deux seules tonalités les pièces individuelles sont 2 à 2 en relation d’or.

Autre curiosité à l’intérieur des 3 relations lourdes, découvertes sans se soucier de la répartition des mesures dans chaque tonalité, le découpage selon préludes et fugues permet de retrouver l’équilibre 203/125 de la dernière relation :

6 fugues lourdes :   538

6 fugues légères :   335

différence :              203

6 préludes lourds :   321

6 préludes légers :   196

différence :              125

 

Lorsque j’ai découvert ces diverses possibilités, il y a 10 mois, j’y ai vu le couronnement de mes recherches sur le Clavier bien tempéré, couronnement à apprécier en fonction de mes autres résultats, que j’avoue d’ailleurs ne plus entièrement maîtriser, mes seules recherches sur le Clavier bien tempéré occupant déjà 10 pages web, souvent touffues.

Reprenant le tableau à l’origine de la découverte, je me suis avisé qu’on pouvait ajouter une relation aux 4 relations ci-dessus, obtenues par simple consultation du tableau. Il faut encore rappeler que, le nombre d’or Φ étant irrationnel (1.618033…), le rapport entre deux nombres entiers A et B ne peut que l’approcher imparfaitement. J’ai déjà indiqué distinguer 3 cas :

- relation « bonne », lorsque aussi bien A/Φ arrondi au plus proche entier = B, et BxΦ idem = A

- relation « moyenne », lorsque une seule des deux conditions ci-dessus est remplie

- relation « médiocre », lorsque seul le partage selon Φ de la somme (A+B) livre, après arrondi, A et B

Le tableau ne faisait apparaître que la relation bonne 283/175 et les relations moyennes 289/179, 287/177, 203/125, mais on peut encore dénicher la relation supplémentaire 244/150, médiocre, entre Cis et E.

Cette nouvelle relation peut s’intégrer remarquablement aux 4 autres relations. J’avais remarqué que les relations lourdes étaient caractérisées par le fait que leurs mineures 179-177-175 étaient en progression arithmétique (de raison 2), or la mineure 150 de la nouvelle relation vient s’insérer entre 175 et 125 (la relation « légère ») pour former une autre progression arithmétique (de raison 25), 175-150-125. Les tonalités sont encore extrêmement frappantes, puisque le pivot commun aux deux triades est le couple b/a, et qu’on peut les définir

- b/a << h/C, avec pour élément médian cis/fis

- b/a >> H/c, avec pour élément médian Cis/E

3 corrélations de tonalité majeure-mineure sur 4, sans parler des tonalités extrêmes BACH pour les deux triades. Le détail de la répartition des pièces dans la dernière triade livre d’autres sujets de réflexion :

ton

N°

P1

F1

P2

F2

total

b

22

24

75

83

101

283

Cis

3

104

55

50

35

244

H

23

19

34

46

104

203

 

 

147

164

179

240

730

 

a

20

28

87

32

28

175

E

9

24

29

54

43

150

c

2

38

31

28

28

125

 

90

147

114

99

450

 

Il a été vu que la relation médiane cis/fis était caractérisée par de multiples relations d’or internes, et il y a aussi un plus entre les tonalités Cis/E où PF2Cis/PF1E = 85/53 est une relation d’or moyenne. L’autre relation croisée PF1Cis/PF2E = 159/97 est par définition proche de Φ, mais le bon partage de 159+97 serait 158/98.

La principale curiosité de la triade est probablement que les sommes pour les P1 respectent la loi de l’ensemble, avec une relation (médiocre) 147/90 (on trouve aussi 147 mesures pour les fugues correspondant aux 90 mesures des préludes aEc). Ceci peut être rapproché de la relation identique à l’intérieur de la paire cis/fis, où les P1 donnent 39/24.

Les 4 premières paires totalisent 1718 mesures (859/531). Avec cette nouvelle relation 244/150, on arrive à 2112, nombre palindrome éventuellement intéressant (12 tonalités majeures, 12 mineures). Ces 2112 mesures se répartissent en 951 pour les PF1 (du premier volume) et 1161 pour les PF2 (du second volume), ce qui ne m’inspire rien. Par contre la répartition en préludes et fugues livre 880 pour P1P2 et 1232 pour F1F2, soit 5 et 7 fois 176 (7 notes naturelles dans la gamme, et 5 altérées).

Il reste 14 tonalités non concernées par ces équilibres, totalisant 3020 mesures, se répartissant en 1137 pour PF1 et 1883 pour PF2, ce qui ne m’évoque rien (le partage d’or de 3020 est 1866-1154), et c’est encore la répartition en préludes et fugues qui éveille quelque chose, 1302 pour P1P2 et 1718 pour F1F2.

 

1718, soit le nombre de mesures des 4 paires de départ, mon « couronnement ». Ceci m’a conduit à étudier les sommes P1P2 et F1F2 pour chaque tonalité, ce qui donne de nouveaux résultats étonnants.

Je me suis d’abord intéressé aux fugues, obtenant la suite de 24 nombres, ici classés en ordre décroissant, 186-184-176-176-171-158-143-141-138-133-128-119-118-115-110-110-107-90-85-83-77-72-71-59.

J’y ai aussitôt remarqué les relations liées 186/115 entre le 1er et le 14e nombre, et 115/71, entre le 14e nombre et le pénultième. Ces relations sont marquées par une corrélation interne stupéfiante, le partage doré des fugues pour les tonalités extrêmes cis et d : 186=115+71 et 71=44+27. Ce sont les seules harmonies dorées parmi les 24 tonalités, de plus dans le même sens minoritaire F1>F2 (8 cas sur 24). Ainsi une recherche sur les harmonies entre fugues à l’intérieur de chaque tonalité aurait conduit à ces tonalités cis et a et à constater l’appartenance des nombres à une même série 186-115-71-44-27, où même 44/27 est une bonne relation. Une recherche sur les 48 fugues ne permet de trouver qu’une seule autre relation liée approchée, 93-58-35 (B2-f1-Fis1), mais 93/58 est une relation médiocre, et 58/35 ne l’est même pas.

Une corrélation s’impose encore avec le « couronnement », où toutefois il y a un saut entre les 3 relations lourdes groupées (859/531) et la relation légère (203/125).

Je laisse de côté les autres relations F1F2 pour présenter dans le tableau qui suit la relation précédente avec les deux relations de même type présentes entre les ensemble P1P2 :

 

ton

N°

P1

P2

P1P2

F1

F2

F1F2

cis

4

39

62

101

115

71

186

a

20

28

32

60

87

28

115

d

6

26

61

87

44

27

71

 

 

93

155

248

246

126

372

 

 

 

e

10

41

108

149

42

86

128

f

12

22

70

92

58

85

143

A

19

24

33

57

54

29

83

 

87

211

298

154

200

354

 

Fis

13

30

75

105

35

84

119

H

23

19

46

65

34

104

138

g

16

19

21

40

34

84

118

 

68

142

210

103

272

375

 

Les additions P1+P2 donnent les 24 nombres, classés par ordre décroissant, 154-149-141-121-113-107-107-105-101-92-90-87-79-78-76-69-67-67-66-65-60-57-40.

J’y remarque donc les couples liés 149/92 et 92/57 d’une part, 105/65 et 65/40 d’autre part. Je ne vois rien d’immédiat à signaler, sinon qu’il s’agit encore de bonnes relations.

C’est la considération de l’ensemble qui mène à une fascinante possibilité. Les 3 triades 186-115-71, 149-92-57, 105-65-40, se conjuguent pour donner 440-272-168, soit les nombres de Fibonacci 55-34-21 multipliés par 8. Le nombre 272 apparaît dans le tableau, pour les 3 fugues F2 de la dernière triade, telle que 84+84=168 permet le découpage idéal 168/104, le rapport suivant 272/168 dans la suite de Fibonacci multipliée par 8.

J’ai rapproché ce 272 du total 210 obtenu pour la relation essentielle de la triade, 105-65-40, et le total 482 est en parfait rapport d’or avec le 298 de la triade précédente (ou encore la moyenne 241 est le nombre suivant de la suite 57-92-149-…)

Ceci devient beaucoup plus troublant lorsqu’on s’avise que les derniers totaux jusqu’ici contingents, 248 pour les P1P2 de la 1e triade et 354 pour les F1F2 de la 2e triade, se conjuguent en 602, en parfait rapport d’or avec le 372 de la 1e triade (ou encore la moyenne 301 est le nombre suivant de la suite 71-115-186-…)

Belle architecture d’ensemble, bien qu’il faille en exclure le 103 des F1 de la dernière triade.

 

Quelques mots des autres relations. Les P1P2 en B et b totalisent tous deux 107, majeure dorée du 66 de c. C’est un autre genre de triade.

Pour les fugues, il y a la bonne relation 138/85, entre H et As, et la relation médiocre 133/83 entre dis et A, intéressante parce que ces tonalités réalisent les harmonies dorées P1 40/24, F1 87/54, et F2 46/29. Toutefois ceci est bien plus frappant dans l’ensemble déjà étudié ici. 

 

Voilà pour l’essentiel de mes derniers approfondissements, mais j’ai encore diverses remarques à ajouter.

Si je ne me risque plus à envisager d’interprétation aux équilibres numériques découverts, il demeure néanmoins encore une vague frontière entre ce qui pourrait, qui sait, trouver un jour une explication rationnelle, et ce qui s’en écarte résolument, comme la raison qui m’a fait dédier ces Pénultièmes à Jean-Bernard Condat, directeur du colloque international publié sous sa signature, Nombre d’or et musique, et à Guy Marchand, le luthiste canadien auteur de Bach ou la passion selon Jean-Sébastien De Luther au nombre d'or.

Ce n’est qu’au cours de l’écriture de cette page, déjà nommée ainsi, que j’ai découvert l’architecture du dernier tableau, où interviennent des « pénultièmes », les avant-derniers nombres des couplages F1F2 et P1P2, soit 57 et 71, premiers termes des séries d’or 57-92-149 et 71-115-186. Or Condat observait dans la préface de son livre que, selon la gématrie immédiate ordinale, son nom se décomposait en

CONDAT = 57

JEAN-BERNARD = 92

(JEAN-BERNARD CONDAT = 149)

92/57 = 1,614 étant une bonne approximation du nombre d’or.

J’en parlais sur cette page, où, déplorant qu’il n’en aille pas de même pour Guy Marchand, je remarquais cependant que la valeur de son nom était en rapport d’or avec celle du nom de la collection publiant son ouvrage :

GUY MARCHAND = 53 + 62 = 115

UNIVERS MUSICAL = 108 + 78 = 186

Ce que Marchand nomme Passion de Jean-Sébastien, c’est la fugue pour luth BWV 997, en 48+60 mesures, et reprise des 48 mesures initiales, où il voit une utilisation du nombre d’or particulière, avec l’insertion de la mineure 60 au milieu de la majeure 48+48, soit 96/60 = 8/5 (Fibo). C’est analogue au cas des 84+104+84 mesures des F2 de la dernière triade, avec 168/104 = 21/13 (couple Fibo suivant).

 

A propos des triades du type 186-115-71, j’avais remarqué ici qu’il en apparaissait une dans le CBT1, pour les ensembles PF, à condition de prendre en compte la reprise du prélude P24. On avait ainsi les PF en h-G-Fis = 170-105-65, avec quelque chose de Remarquable car ces trois tonalités correspondent aux 3 R du titre en 24 lettres, DASWOHLTEMPERIRTECLAVIER.

A la triade 186-115-71 correspond de même WAH (Wah !)

A la triade 149-92-57 correspond MEL (?)

A la triade 105-65-40 correspond RET, ou selon l’ordre croissant 40-65-105 TER pour cette triade ter (le 105 pour P1P2 correspond au 65 pour PF1 dans la même tonalité Fis)

 

Si j’ai indiqué l’unicité de la tétrade de fugues 115-71-44-27, en considérant l’ensemble des 48 fugues, il apparaît une tétrade remarquable entièrement contenue parmi les P2 : 87-54-33-21, tonalités BEAg correspondant à VELT.

Avec les F2, 444 mesures.

On a aussi les doubles 108 et 66, toujours pour les P2, en e-h (MR).

21 et 108 sont les plus petit et plus grand nombres pour les préludes.

 

880, somme des triades 186-115-71, 149-92-57, et 105-65-40, correspondait aux P1P2 des 5 paires de tonalités en rapport d’or vues plus haut, avec P1P2/F1F2 = 880/1232 = 5/7.

La suite 440-272-168-104 se poursuit par 64-40-24, ce qui correspond au PF1 en fis, l’ensemble 14 qui revient constamment dans de multiples relations.

 

A la triade 107-107-66 correspond VIA, chemin à creuser, d’autant qu’avec les fugues, ces tonalités totalisent 656 mesures, petite section d’or des 1718 mesures du « couronnement » (1062/656).

Ce qui m’a incité aux calculs FF et PP était les 1718 mesures des 14 F1F2 restants, mis de côté les 2112 mesures des 5 paires (1718 + 394).

Les 4 plus lourds ensembles F1F2 parmi ces 14 totalisent 656 (184-171-158-143), et donc les 10 autres 1062.

A ces 656 mesures correspondent 328 pour les préludes correspondants, la moitié de 656.

L’ensemble des 14 P1P2 totalisaient 1302 mesures.

Assez inexplicablement, et ce cas est unique, un numéro de téléphone étranger est resté depuis 40 ans gravé dans ma mémoire, 328 1302.

 

A propos de rapports internes harmonieux, il me semble devoir au moins détailler celui de la triade des F1F2 186-115-71 totalisant 372. Les préludes correspondants totalisent 248, avec 372/248 = 3/2, et les 248 se répartissent en 93 pour P1 et 155 pour P2, avec 155/93 = 5/3.

 

 Enfin, si 3 des derniers nombres des suites PP et FF interviennent dans les triades 40, 57, et 71, le plus petit FF 59 pourrait ressembler à une signature, puisqu’il se décompose en F1-F2 31-28, ca-bh.

 

rémi schulz, le 17/01/09