Goldbach Variationen (in English)

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La pêche aux tons

 

Pour les 62 ans de Jean-Pierre, le 2 août 04,

 

 

J’ai exposé ailleurs ce qui m’a amené à rechercher des relations d’or parmi les « 48 », les 2 fois 24 paires Prélude-Fugue des deux volumes du Clavier bien tempéré, et le premier résultat de cette recherche : les seules paires du premier volume présentant un partage optimal de leurs mesures entre le Prélude et la Fugue selon le nombre d’or sont les paires 14 et 24 correspondant aux tonalités fis et h (fa dièse mineur et si mineur) ; la seule paire optimale du second volume est la paire 14, et la meilleure paire suivante est la paire 24.

J’ai proposé diverses architectures à partir de cette remarquable correspondance entre les deux volumes, mais j’ai semble-t-il négligé le plus simple, ne considérer que les trois paires optimales, ce qui conduit à un schéma d’une belle harmonie :

– En considérant les « 48 », désignation aujourd’hui courante, comme une succession effective de 48 paires, la paire 14 du second volume serait la paire 38, ainsi les 3 paires concernées seraient les 14-24-38, avec 38 = 14 + 24, la relation même qui gouverne les séries de type Fibonacci dont chaque terme est la somme des deux termes précédents (Fn+1 = Fn-1 + Fn), séries dont le rapport de deux termes consécutifs tend vers le nombre d’or, et cette série 14-24-38 est particulièrement intéressante car les termes suivants sont 62 et 100, alors que la section d’or est couramment arrondie à 62 pour 100.

– Or précisément les nombres de mesures de ce triptyque idéal 14-24-38 reprennent et poursuivent cette série, en moyenne du moins, ainsi

- les 3 préludes totalisent 24+47+43 = 114 mesures, soit 3 fois 38

- les 3 fugues totalisent 40+76+70 = 186 mesures, soit 3 fois 62

- et la moyenne des 300 mesures des 3 paires est bien sûr 100

 

Au plus bref, les 3 paires déterminées parmi les 48 selon un même critère présentent des propriétés inattendues en rapport avec ce critère :

– leurs rangs 14-24-38 esquissent une série d’or ;

– les sommes de mesures des Préludes comme des Fugues sont non seulement multiples de 3, ce qui n’avait rien d’obligatoire, mais les moyennes obtenues sont dans la continuité de la série esquissée précédemment, et représentent des valeurs exemplaires (100 se partage idéalement selon la section d’or en 62 et 38).

 

Si cette section d’or simplifiée est bel et bien enseignée aujourd’hui dans maintes écoles de beaux-arts, rien n’indique qu’elle ait été connue du temps de Bach. Rien n’indique en fait que quiconque ait alors utilisé ou prôné d’utiliser dans les arts la section d’or sous quelque forme que ce fût, mais ceci ne semble pas avoir perturbé la fougue des exégètes…

Pour ma part je me borne à creuser certaines pistes sans préjuger des intentions réelles de Bach. Si j’estime pouvoir faire l’économie d’un « Bach doré », parce que cette hypothèse ne m’aide pas à élucider la complexité des édifices que je rencontre chez Bach et ailleurs, je ne suis sûr de rien, et la cohérence de certains schémas peut parfois me conduire à faire « comme si »…

Et ce cas est particulièrement remarquable puisqu’il unit les deux paires BACH, les paires 14 en fa dièse mineur des deux volumes, par une paire 24 en harmonie arithmétique (14+24 = 38) comme en harmonie musicale (si est la quarte de fa dièse). La Renaissance connaissait le nombre d’or sous le nom de Divine Proportion, censée résoudre le mystère de la Trinité, or le triptyque bachien s’achève sur la magnifique fugue BWV 883, trinitaire à plus d’un titre :

- c’est une fugue à 3 voix, avec 3 dièses à la clef ;

- c’est la seule triple fugue parmi les 48, une fugue en 3 parties donc, à 3 thèmes, qui s’achève par 3 superpositions des 3 thèmes.

 

Le tableau suivant récapitule les nombres de mesures des trois paires Prélude-Fugue, avec de surcroît les partages théoriques des totaux selon une section d’or approchée à 62% (et une petite section à 38%).

 

rang

Prélude

Fugue

Total

Total x .38

Total x .62

14

24

40

64

24.32

39.68

24

47

76

123

46.74

76.26

38

43

70

113

42.94

70.06

 

114

186

300

114.00

186.00

 

Les sceptiques pourront vérifier grâce au tableau général que ces 3 paires sont les seules dont le partage effectif Prélude-Fugue (ou Fugue-Prélude) se rapproche au mieux (soit à moins d’une demi-unité) du partage calculé.

Le rapport 43/70 est très proche du rapport 38/62, les nombres effectifs 43 et 70 se situant à 6 centièmes d’unité des nombres calculés. En conséquence les paires du premier volume, ensemble, présentent les mêmes écarts et les deux volumes présentent un bel équilibre autour de ce rapport 38/62. On remarque encore que les paires du premier volume totalisent 187 mesures, celle du second 113, nous sommes à une unité du partage 114-186 en Préludes-Fugues.

Il n’est pas inutile pour apprécier l’intentionnalité de ces équilibres de se rappeler que les deux volumes ont été achevés en 1722 et 1744, à 22 ans d’intervalle. Las ! les âges de Bach sont alors de 37 et 59 ans, en rapport d’or approximatif…

 

A remarquer encore que les écarts Prélude/Fugue par rapport à 38/62 vont en décroissant, mais il faut rappeler que 62% n’est qu’une approximation de la section d’or, et que selon une meilleure approximation c’est la paire 24 qui est la meilleure, suivie de la 38, la paire 14 n’étant acceptable qu’en considérant le partage optimal du total Prélude+Fugue.

Sinon, la section d’or entière optimale des 40 mesures de la Fugue 14 est 25 et non 24, d’où l’idée d’étudier les paires 24 et 38 ensemble, qui donnent l’égalité Préludes+Fugues suivante :

90 + 146 = 236

or la suite 90-146-236… se poursuit logiquement par …382-618-1000-1618…, où l’on retrouve une autre approximation courante de la section d’or par rapport à l’unité, 0.382 et 0.618, meilleure que 0.38 et 0.62.

C’est encore fort curieux, mais il est délicat de reporter cette curiosité au temps de Bach, faute de documents établissant un usage pratique de ce nombre qui était plutôt jugé comme une quantité algébrique idéale, dont toute approximation aurait altéré le caractère « divin ».

 

J’utilise pour ma part la valeur 1.618 qui est programmée sur ma calculette, et ceci a été l’occasion d’une autre curiosité.

J’ai indiqué ici les nombres de mesures entiers que donnent toutes les partitions, mais il arrive qu’un morceau ne débute pas sur le premier temps de sa première mesure, et c’est souvent le cas pour une fugue qui commence par l’exposition de son thème, dont l’entrée est fréquemment syncopée pour mieux marquer l’oreille.

C’est le cas pour les trois fugues concernées, tandis que chaque prélude débute sur le premier temps de la mesure. J’ai donc regardé ce que donnait un calcul affiné tenant compte de ces silences initiaux, qui sont d’1/6e de mesure pour la Fugue 14, d’1/8e pour la Fugue 24, et de 3/8es pour la Fugue 38, soit un manque cumulé de 2/3 de mesure.

Les totaux corrigés sont donc de 114 mesures pour les Préludes et 185 1/3 pour les Fugues, ce que j’ai arrondi à 185.33. J’ai entré le total 299.33 sur ma calculette et j’ai divisé par ma constante en mémoire, 1.618, pour obtenir le partage idéal… J’ai dû entrer des centaines d’opérations similaires, toutes soldées par un résultat d’une dizaine de chiffres, avec autant de décimales que le permet la machine, et j’ai été surpris de voir apparaître un résultat de 3 chiffres. J’ai recommencé l’opération, croyant à une erreur, mais il s’avère que

299.33 / 1.618 = 185, exactement, et corollairement

185 x 0.618 = 114.33

Il n’y a rien à ajouter, sinon qu’il n’y avait pas de calculettes du temps de Bach.

 

Cette approche simplifiée, limitée à trois paires Prélude-Fugue, pouvait sembler péremptoire en s’en tenant au premier constat de l’harmonie des rangs 14-24-38 et des moyennes 38-62-100, mais les curiosités rencontrées en examinant ces seules pièces échappent déjà clairement aux intentions qu’on peut raisonnablement prêter au génie de Bach.

 

Rémi Schulz