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Goldbach

Bach et ses fis

Quand le tempérament va

Goldbach Variationen (in English)

 

 

Mor(t) Bach

 

Rappel de quelques faits détaillés sur cette page.

Il existe diverses supputations sur l’utilisation par Bach du nombre d’or. Il s’agit essentiellement de repérer dans une œuvre un découpage tel que le rapport des deux parties approche au mieux le nombre 1.618, supposé être un parangon esthétique.

J’ai eu l’idée d’étudier ce qui se passe pour une forme binaire privilégiée chez Bach, le « Prélude et Fugue », illustré au premier chef par les deux volumes du Clavier bien tempéré, connus des musiciens comme les « 48 », chaque recueil déclinant dans les 24 tonalités majeures et mineures la forme « Prélude et Fugue ». Sans justifier cette approche, en voici les résultats.

Selon le critère le plus immédiat du nombre de mesures, de mesures exécutées pour être précis, car certains préludes sont à reprises, deux ensembles sont dans ce cas :

BWV 859 a 64 mesures en tout dont le meilleur partage est en 24 et 40 mesures, effectivement réalisé.

Les 113 mesures de BWV 883 sont réparties au mieux  en 43 et 70 mesures.

Ces deux ensembles correspondent dans chaque recueil à la même tonalité de fa dièse mineur, et c’est dans chaque cas le 14e ensemble du recueil, or si les spécialistes n’admettent pas toutes les spéculations numérologiques concernant Bach, un point qui fait une quasi-unanimité est la signature 14, correspondant à la somme des rangs des lettres BACH.

 

Il y a d’autres curiosités concernant ces deux ensembles, déjà détaillées sur la page précédente. Pour l’heure je m’intéresse au seul autre ensemble digne d’une attention dorée parmi les 48 soit le 24e du premier volume : BWV 869a a 47 mesures et 869b 76 mesures, ce qui donnerait un rapport d’or presque parfait (123/76 = 1.618), bien meilleur que pour les pièces 14, 64/40 = 1.6 et 113/70 = 1.614), mais le prélude est ici à reprises, le seul du premier recueil, et cette magnifique harmonie serait perdue pour la musique exécutée.

 

Le 1er novembre au matin, la conviction de ne pouvoir éluder ces proportions presque idéales des Prélude et Fugue 24 me menait à considérer les « 48 » comme effectivement 48 ensembles séquentiels, et non plus comme deux fois 24.

Ainsi les ensembles dorés sont les numéros 14, 24, et 38, termes d’une progression « fibonaccienne[1] » menant ensuite aux termes clés 62 et 100, exemplaires : la section d’or s’approxime à 62 pour 100.

A noter que si 14 n’est pas la section d’or idéale de 24, ces 24 représentent 12 paires de tonalités, majeures et mineures, et 7 est bien la meilleure section dorée de 12, avec une signification musicale immédiate : il y a 7 tonalités pures, contre 5 altérées.

Donc 14, 24, 38 peuvent trouver une signification privilégiée, mais ensuite ? 62 est trop grand, mais en considérant cycliquement les 48, on obtient 62 – 48 = 14, on retombe sur un ensemble doré. Et 100 ? après 2 cycles on tombe sur l’ensemble 4 du premier recueil, prélude 39 fugue 115, dont il n’y a pas grand chose à dire à première vue.

Cependant, selon un autre angle, cet ensemble 4 est en do dièse mineur, soit cis-moll selon la notation allemande, qui selon l’alphabet numérique[2] qu’on prête à Bach se décompose en

 ‘cis’ = 3+9+18 = 30

 ‘moll’ = 12+14+11+11 = 48, dont la section d’or est 30

cis-moll = 78 est la seule tonalité dont les valeurs des deux éléments soient ainsi partagées selon le nombre d’or, donc il se passe bien quelque chose de spécial quand on arrivé à ce stade 100.

En fait l’idée resterait valide pour le recueil I seul, en passant 3 fois par le premier ensemble 14 (14-24-14-14-4), mais la curiosité d’examiner l’ensemble 4 du second recueil, prélude 62 fugue 71, amène une surprise. Pas de relation d’or immédiate, mais en croisant avec prélude 39 fugue 115 du premier recueil :

39 + 62 = 101, dont le meilleur partage est 62 et 39

115 + 71 = 186, dont le meilleur partage est 115 et 71

C’est le seul cas parmi les 24 paires d’ensembles où le prélude II est en rapport d’or avec le prélude I, tandis que la fugue I est en rapport d’or avec la fugue II.

 

Les deux sections d’or de ces ensembles 4 totalisent 62+115 = 177 mesures, ce qui n’est autre que la somme des mesures des ensembles 14 en harmonie d’or. On peut d’ailleurs vérifier que les petites sections correspondantes, 39 et 71, donnent la même somme que les 40 et 70 des fugues 14.

La petite idée 14-24-38-62-100 mène donc à une triple harmonie d’or pour ce dernier niveau correspondant aux ensembles 4 :

cis-moll = 30-48

le chiasme 39-62 et 71-115

le rapport d’or 177-287 des ensembles 14 et 4 (ou cycliquement 62 et 100)

Il y a une autre stupéfiante coïncidence. Plusieurs auteurs ont remarqué que Bach a donné à son recueil de 24 ensembles un nom de 24 lettres, Das Wohltemperirte Clavier, et certains en ont proposé des interprétations gématriques. Si on imagine une correspondance terme à terme, l’ensemble 4 correspond à la première lettre de Wohltemperirte qui est un mot de 14 lettres de valeur 177, section d’or de 287 nombre de mesures de ces ensembles 4 ou W ! En fait il y a beaucoup à dire de ces groupes de 14 et je développe la chose sur cette page.

Car je suis loin d’en avoir fini avec ce nombre 287, bien connu de la numérologie bachienne.

 

Ainsi l’une des thèses de Bach et le nombre, de Van Houten et Kasbergen (1985), est que Bach vivait en telle harmonie avec le Cosmos qu’il aurait su très tôt le jour exact de sa mort le 28 juillet 1750 et qu’il aurait signifié cette date à maintes reprises dans son œuvre, par les nombres 287 et 209 notamment (le 28/7 est le 209e jour de l’année).

Les auteurs, que je résume en VHK, trouvent aussi maintes références au jour de naissance, le 21 mars (1685), 80e jour de l’année.

Or il se trouve que 80 est la petite section d’or de 209, en d’autres termes que les dates de naissance et de mort de BACH=14 reflètent les proportions des Prélude et Fugue 14 des deux recueils. Le nombre 287 intervenant dans une relation d’or pourrait alors être significatif pour VHK, et le chiasme à 22 ans de distance des 2 fois 2 pièces 4 serait effectivement étonnant, car les deux nombres 39 et 115 du recueil I ont besoin des nombres 62 et 71 du recueil II pour faire sens…

 

Sans approfondir l’aspect métaphysique, j’ai cherché s’il y avait dans les deux recueils une façon quelconque de trouver les nombres 80, 129, ou 209. Il n’y a qu’une seule façon, qui est tout à fait étonnante, dans le premier recueil :

12 : prélude 22  fugue 58  total 80

13 : prélude 30  fugue 35  total 65

14 : prélude 24  fugue 40  total 64

On retombe donc sur l’ensemble 14, lui-même doré, mais c’est loin d’être tout.

– Les 80 mesures de l’ensemble 12 se répartissent en 58 et 22 qui est la petite section d’or de 58, soit l’équivalent de 80 pour 209. C’est le seul ensemble dans ce cas dans les deux recueils.

– Les 65 mesures de l’ensemble 13 correspondent à l’âge de Bach à sa mort, 65 ans… et 129 jours obtenus en ajoutant le 64 qui suit.

– Ces pièces sont en fa mineur, Fa dièse Majeur, fa dièse mineur, soit selon la notation allemande et la valeur des lettres dans le système prêté à Bach :

f-moll     = 54 (6 + 12 + 14 + 11 + 11)

Fis-dur  = 74

fis-moll  = 81

  total  = 209 !!!

C’est la seule série de tonalités successives qui soit égale à 209, et la seule égalité entre valeur de noms de tonalités successives et nombre de mesures correspondant.

– Ce sont les 287 mesures des ensembles 4 en cis-moll = 78 qui m’ont amené à découvrir cette égalité remarquable en 209, or 209 + 78 = 287 !!!!

– Les deux fugues 12 et 14 ont une particularité unique, ce sont des fugues à 4 voix avec une exposition en tonique-quinte-tonique-tonique, alors que le dernier thème devrait être à la quinte. Je ne connais aucun autre exemple de cette anomalie chez Bach ou ailleurs.

Elles ont un autre point commun, d’importance, leur thème initial à la tonique contient les notes BACH (ou pour la fugue 14 leurs équivalents AisAHisH). Dans le premier recueil seule la fugue 24 est dans ce cas ; pour ce recueil je constate que les 3 fugues dont le thème contient les 4 notes BACH sont toutes à 4 voix (il y en a 7 autres) et ont leur prélude en raison dorée (petite ou moyenne).

 

Le petit tableau suivant récapitule les données essentielles :

 

 

tonalité

=287

 

P1

F1

 

P2

F2

 

4

cis-moll

 78

 

39

115

 

62

71

287

 

 

   +

 

 

 

 

 

 

 

12

f-moll

  54

 

 22

  58

 

(70)

(85)

 

13

Fis-dur

  74

 

 30

  35

 

(75)

(84)

 

14

fis-moll

  81

 

 24

  40

 

43

70

177

 

 

209

=

76  +

133

 

 

 

 

 

…essentielles du moins selon les approches VHK et nombre d’or ; il est fort possible qu’il y en ait d’autres, mais les choses sont déjà assez complexes et je me limite ici à ces approches sur ce groupe de 6 ensembles prélude-fugue, où apparaissent assez directement les séries d’or suivantes :

464/287/177/110/67   209/129/80   186/115/71   101/62/39   78/48/30   113/70/43   64/40/24   63/39/24   58/36/22

Les deux premières séries font apparaître les dates de Bach, 287 et 209 pour la mort et 80 pour la naissance, mais quid de 213 qui complèterait le schéma ?

Il y a bien un 213 assez immédiat, car les valeurs des trois tonalités mineures totalisent 78+54+81 = 213. Mieux, la partition d’or idéale de 213 en 132 et 81 est effective et actualisée par la tonalité 14.

Il est parfois tentant d’affirmer qu’on peut faire dire n’importe quoi à une série de nombres, mais si on désirait pouvoir composer au moyen de 4 nombres 287, 209, 213 et la section dorée de 213, il n’y aurait que deux solutions, 78-74-58-77 et 78-74-54-81 ; au seul second cas correspondent des valeurs existantes de tonalités, et il serait évidemment peu attendu que les pièces correspondantes donnent à lire les nombres 287 et 209 et leurs sections d’or. Je rappelle que ce sont les recherches sur 287 et 209 en tant que nombres de mesures qui m’ont fait prêter attention à l’ensemble 4 et découvrir les ensembles 12-13-14, puis entièrement indépendamment ces valeurs de tonalités. Ce groupe a une telle cohérence que j’aurais pu y aboutir à partir de la seule étude des valeurs de tonalités et découvrir ensuite l’harmonie correspondante en mesures. Ou encore la recherche des seules sommes de mesures en rapport d’or dans les recueils réunis mènerait aux ensembles 4 et 14…

Je n’ai pas non plus inventé ces dates, ni les deux façons de les exprimer adoptées par VHK, qu’on peut évidemment contester, comme on peut contester d’ailleurs que Bach ait jamais utilisé un quelconque alphabet numérique, ou que le nombre d’or apparaisse de façon significative dans son œuvre… mais ce sont des idées émises indépendamment de mes recherches, et j’espère que le moins qu’on puisse dire de mes découvertes est qu’elles suscitent quelques questions.

 

Et pourrait-on trouver aussi une relation entre les deux façons d’exprimer la date de naissance, comme 209(+78) = 287 pour la mort ? On aurait donc 80(+133) = 213, or 133 correspond précisément à l’ensemble 4 du recueil II, 62+71, celui-là même qui avec l’ensemble 4 du recueil I donnait le 287 à l’origine de ces découvertes. Je rappelle que les 6 pièces composant ces 3 ensembles sont 2 à 2 en rapport d’or, avec le cas spécial de 22 petite section d’or de 58.

Justement. Pour ces 3 ensembles 115-71, 62-39, et 58-22, les poids forts totalisent 235, en rapport d’or avec les 145 mesures des ensembles 12 et 13, et les poids faibles 132, en rapport d’or avec 213…

Mieux vaut s’arrêter là. Quelle que soit l’origine de cette série de nombres, il est clair qu’elle présente une densité élevée en rapports d’or directs d’où découlent par diverses recombinaisons de multiples autres relations

 

Si l’hypothèse de Bach prescient était rationnelle, cette accumulation pourrait en constituer une belle validation, mais je crains qu’elle ne démontre que les limites de l’approche logique. Pour relativiser les précédents résultats voici quelques événements extérieurs qui ont accompagné leur découverte.

Après avoir écrit le 27 octobre ma page Bach et ses fis, je songeais le samedi matin 1er novembre aux possibilités d’inclure l’ensemble 24 en si mineur dans le schéma 14-24-38-… décrit plus haut. J’écoute souvent d’une oreille Répliques à 9 h 05 sur France-Cultures, mais je n’entendis pas ce jour l’indicatif de l’émission, la 1e variation Goldberg par Glenn Gould ; pour cause de Toussaint c’était un débat religieux. Prodigieusement intéressé j’ai aussitôt mis France-Musiques que j’écoute fort rarement depuis que les programmes en ont été bouleversés. C’était Bach, et l’Ouverture à la française en si mineur, BWV 831, exécutée en public.

A la fin, le présentateur Marc Dumont évoqua un livre nouvellement paru, Bach ou la Passion selon Jean-Sébastien : de Luther au nombre d’or, de Guy Marchand. Internet m’apprit que le livre était paru le 1er juin 03 ; curieux, car la dernière fois où j’avais entendu parler du nombre d’or par les médias, c’était au cours d’un autre récital donné ce même 1er juin, retransmis le 4 septembre par France-Musiques, présenté par Damien Colas, de même écouté par hasard ; j’ai retenu la date du 1er juin qui m’est importante pour des raisons complexes (en partie liées au nombre d’or).

 

L’Ouverture débutait un récital dont le fil rouge était la tonalité de si mineur, mais lorsque j’ai voulu obtenir plus de précisions, les programmes en ligne de France-Musiques annonçaient un concert de l’Orchestre Symphonique de Toronto donné le 12 février.

Le samedi suivant Marc Dumont annonçait qu’il y avait souvent de telles déprogrammations, pour divers motifs, et affirmait que les programmes en ligne étaient soigneusement actualisés…

Une autre semaine, et le 15 novembre, Marc Dumont donnait enfin un concert de l’Orchestre de Toronto, 14 jours après sa déprogrammation ; ce n’était pas celui du 12 février mais celui du 29 janvier, 14 jours avant !

Entre Martinu avec ses Fresques de Piero della Francesca (un des peintres les plus cités à propos du nombre d’or[3]) et l’Eroica de Beethoven (dont Colas ne doutait pas le 4 septembre qu’il eût composé ses Variations Diabelli selon le nombre d’or), c’était Bartok avec son Concerto n° 3 pour piano. Or Bartok est, parmi les compositeurs célèbres, le seul dont on soit sûr qu’il ait fait intervenir très intimement le nombre d’or dans sa musique ; ses partitions autographes sont constellées de nombres de Fibonacci et de calculs divers, entre autres témoignages…

J’ignore si cette œuvre particulière est basée sur le nombre d’or, mais Dumont en révèle une autre particularité : Bartok est mort avant d’avoir entièrement achevé ce concerto, et c’est son élève Tibor Serly qui en a composé les 14 dernières mesures.

L’or rend-il toc-toc (tonto en espagnol) à Toronto comme ailleurs ? Les 3 pièces au programme du concert ont chacune un rapport assez direct au nombre d’or (alors que je n’en imagine pas pour aucune des autres pièces du programme prévu 14 jours plus tôt exécuté par l’orchestre 14 jours plus tard), et le nombre 14 apparaît 3 fois dans l’affaire, avec une occurrence liée à la mort d’un compositeur dont la première syllabe du nom est voisine de Bach.

 

Je suis conscient d’être un des dizaines ou centaines de milliers d’auditeurs de ces deux concerts, parmi lesquels il a bien dû se trouver maint autre hurluberlu pour voir dans tel ou tel détail quelque coïncidence avec son univers personnel, mais il s’agit ici d’au moins 7 détails, et je n’en ai pas fini avec la tonalité de si mineur.

Je pourrais raconter quelques coïncidences bien plus personnelles, mais de ce fait difficiles à vérifier ; on en trouvera ailleurs sur mes pages.

 

L’un des exemples les plus frappants de VHK est le choral BWV 668.a, Vor deinen Thron tret’ ich, qui serait la dernière œuvre achevée de Bach, qui dans sa cécité l’aurait dictée à son gendre Altnikol. C’est une variante d’un autre choral, mais dont Bach a ornementé la mélodie initiale pour obtenir des phrases de 14, 18, 9 notes, correspondant à rebours à J S BACH. Et la valeur de ces 41 notes est 287, signifiant le 28 juillet fatidique pour VHK.

Ce qu’ils n’ont pas souligné, c’est que 287 c’est aussi 41 fois 7, et que le choral est en G-dur : d’une part la valeur moyenne d’une note est celle de la tonique G = 7, d’autre part dur = 41, et la pièce est en harmonie parfaite avec la tonalité choisie, sans référence obligée au nom de Bach ou à sa mort, mais cette relation offre un surprenant écho aux harmonies entre mesures et tonalités pour les ensembles 12-13-14.

Or VHK utilisent aussi ces ensembles 13-14 en Fis-fis dont les 129 mesures totalisent avec les 158 mesures des ensembles suivants en G-g encore 287, ce qui s’inscrit au sein d’une analyse globale des deux recueils que je laisse de côté. VHK ne signalent pas ce partage immédiat de 287 en 129 et 158, deux nombres importants pour eux, alors qu’ils imaginent ailleurs un partage beaucoup moins évident de 287 mesures de 7 des variations Goldberg en 158, valeur de JOHANN SEBASTIAN BACH, et 129, valeur de SEPULCHRUM, sans que 129 soit homologué à la différence entre naissance et mort, alors que d’autres exemples font apparaître côte à côte les nombres 129 et 80.

En creusant un peu l’exemple du choral ci-dessus, je m’aperçois qu’il est formé de 22 notes GDH de l’accord de Sol Majeur, de valeur 158, les 19 autres notes totalisant la valeur 129. Il est aisé de découvrir un 80 car il y a 10 notes H de valeur 8…

 

Je termine sur un exemple qui doit plutôt au livre de Guy Marchand, quoique Van Houten propose aussi une structure pour la Messe en si mineur. Il s’agit du Credo, ou Symbolum Nicenum, composé de 5 parties :

un chœur de 129 mesures

   un duo de 80 mesures

     un chœur en 233 mesures    

   une aria de 144 mesures

un chœur de 251 mesures

Marchand a fait le choix de n’étudier les proportions qu’au sein de mouvements uniques, ce qui est louable mais l’empêche de prendre en compte quelque chose qui saute aux yeux de l’amateur : 144 et 233 sont les 12e et 13e termes de la suite de Fibonacci, ce qui signifie qu’il n’existe pas de nombres inférieurs donnant une aussi bonne approximation du nombre d’or. Et cette paire chœur-aria suit la paire 129-80 maintenant bien connue, que VHK ne manquent pas ici d’homologuer à la naissance et à la mort de Bach, mais dont ils ne notent pas le rapport d’or qui ne fait pas partie de leurs préoccupations.

 

Le chœur central se décompose en trois mouvements :

     et incarnatus en 49 mesures

          crucifixus en 53 mesures

     et resurrexit en 131 mesures

ce sont dans les deux chœurs de 49 et 131 mesures encadrant le climax du Crucifixus que Marchand trouve des subdivisions dorées exactes, ce qu’il considère comme significatif, mais il y a d’autres choses à dire de ces nombres.

Ainsi ce 49 apparaît après 129 et 80, avec 80 section d’or de 129 et 49 section d’or de 80. Si ces 49 mesures admettent de plus une césure d’or, que demande le peuple ?

On a vu les propriétés du nombre 78, notamment différence entre 287 et 209. S’il vient la fantaisie de soustraire encore 78, on trouve 131, et l’opération réitérée mène à 53.

D’une part on aurait donc la progression géométrique de raison d’or

  49-80-129-209

d’autre part la progression arithmétique de raison 78

  53-131-209-287

dont le terme suivant est 365, qu’on peut trouver significatif, et que VHK dénichent à plusieurs reprises chez Bach, notamment dans cette Messe.

 

Je laisse de côté le 251 du dernier chœur, non que je n’ai rien à en dire, mais il y a déjà suffisamment de questions à se poser sur cette Messe qui est l’une des œuvres que Bach a le plus travaillées, notamment ce Credo dont les différents éléments s’étagent entre 1714 et 1749 ! Dans le premier mouvement du premier chœur, le mot Credo, de valeur 43, est répété 43 fois, avec sa dernière occurrence débutant mesure 43, et VHK ont une analyse impressionnante faisant ressortir la signature JS BACH dans cette pièce.

 

Je rappelle que j’ai quelques pages en amont et en aval de celle-ci.

 

achevé le 30/11/03

 

 



[1] Une série de Fibonacci est formée de termes tels que chaque terme soit la somme des deux termes précédents ; l’une des propriétés est que le rapport de deux termes consécutifs tend vers le nombre d’or. La suite de Fibonacci proprement dite est celle qui débute par les termes 1 et 1 (puis 2, 3, 5, 8, 13, 21, …)

[2] Soit un alphabet de 24 lettres, identique à notre alphabet mais où I et J sont confondus, ainsi que U et V. On part de A=1 jusqu’à Z=24.

[3] Il est ainsi supposé que la fameuse Divine Proportion de Luca Pacioli pourrait avoir été inspirée sinon copiée des travaux de son ami le peintre et mathématicien Piero della Francesca.