1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377… (Fibonacci)
1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 843… (Lucas)
Le terme d’ordre n de Lucas correspond à la somme des termes n–1 et n+1 de la suite de Fibo(nacci) au-dessus, 3 = 1+2, 4 = 1+3, 7 = 2+5...
Le point de départ est la tentative d’épuisement de toutes les tonalités du Clavier bien tempéré de Bach en 1722, en 24 Préludes et 24 Fugues. La dernière Fugue, en si mineur, compte 76 mesures, son Prélude en a 47, deux nombres de Lucas donnant une bonne approximation du nombre d’or, 47/76 = .618.
N’est-ce pas pousser le bouchon trop loin que voir la suite de Lucas utilisée un siècle et demi avant son apparition officielle ? D’une part cette suite est intuitive et se déduit aisément de la suite de Fibonacci, d’autre part Van Houten a parfaitement démontré l’omniscience de Bach, grand lecteur de marc de cacao devant l’Eternel (Bach et le Nombre, Mardaga, 1992, Liège).
Les codages gématriques employés seront établis à partir de l’alphabet allemand de 24 lettres (I=J, U=V). 24 lettres comme 24 tonalités, comme 24 lettres dans le titre Das wohltemperirte Clavier, comme 24 entrées du thème dans la première Fugue.
La date du recueil, 1722, se factorise en 123 x 14, le dernier couple PF (47+76) par la signature BACH.
En fait la dernière Fugue, et donc le recueil, s’achève sur la « signature » SDG, pour Soli Deo Gloria, mais les bachoteurs ont noté l’équivalence SDG = 29 = JSB, les initiales de Bach. 29 est un nombre de Lucas, et l’équivalence fait ressortir son partage en 11 et 18 (les deux lettres différentes DG et JB, la lettre commune S). Et DG = 11 se subdivise en 4 + 7. Les lectures 21 et 38 de BA et CH étant admises, on peut lire DG = 47, et SDG réussit le divin miracle de réunir en 3 lettres les Lucas 4, 7, 11, 18, 29 et 47, sans oublier les 3 lettres d’une trinité en 1 acronyme.
La conjecture de Gold chez Bach amène à considérer la valeur de GOLD, 36. Les 24 PF totalisent 2088 mesures, 24 x 87, mais aussi 36 x 58. 36 et 58 sont les doubles des Lucas 18 et 29. Les doubles permettent de faire participer le nombre de Bach, 14, et 22, l’initiale de Xristus. C’est le rapport 36/58 qui est important, non le produit, mais le compositeur ne peut que suggérer des rapports alors que les sommes et produits sont à sa portée immédiate. A remarquer que 14 correspond à la lettre O, et que la Raison d’or était jadis représentée par le symbole de l’or et du soleil, un cercle doté de son centre, .
Il y a 3 nombres de Lucas parmi les Préludes, à des positions stratégiques, puisque P11 a 18 mesures et P18 en a 29. P24, avec ses 47 mesures, peut encore être considéré comme la 47e pièce du recueil, en dissociant Préludes et Fugues qui n’ont souvent de commun que la tonalité. Entre P11 et P18, 6 Préludes totalisant 158, valeur de Johann Sebastian Bach (avant 29 = JSB ou entre P11 et P18 dont les rangs somment 29). P11 est en tonalité F Dur = 6+41 = 47. La somme des valeurs des tonalités correspondant à Bach est : B Dur a moll c moll h moll = 199, encore un Lucas, celui suivant 123 mesurant le dernier PF en h moll, tonalité paraît-il préférée de Bach.
La 47e pièce est encore remarquable pour être la seule pièce à reprises, comptant donc 94 mesures à l’exécution. P24 n’est pas divisé idéalement en 18 et 29 mais en 17 et 30, ce qui débouche sur une autre lecture. Aux 47+76 mesures notées de PF24 correspondent 170 mesures exécutées, soit 34+60+76, ce qui souligne 34 cinquième de 170, 34 appartenant à la suite de Fibonacci. 24 x .618 donne 14.8, presque 15, et l’ensemble PF15 totalise 105 mesures (19+86), 5 fois 21, le Fibo précédant 34. 105/170 = 21/34 = .618, comme 47/76 = .618, mais ce sont des valeurs approchées par défaut et par excès, encadrant si bien la Raison Dorée que la moyenne entre 21/34 et 47/76 en donne 6 décimales approchées, soit .618034 ; cette perfection est due au fait que 21-34 et 47-76 sont des termes de mêmes rangs (8 et 9) des suites de Fibo et de Lucas, dont la complémentarité est telle que ce rapport moyen égale le rapport des termes de Fibo de rangs 17 et 18. Et c’est un 17 à la place espérée d’un 18 qui a ouvert cette piste !
Autre curiosité liée à ce 17, qui mènerait dans la suite 30-17 au terme suivant 13 avec 13/17 = .7647, où ces 4 premières décimales évoquent le 76+47 des FP24.
On peut encore considérer la signature SDG finale pour sa valeur 29, soit 47-76-29, 76 au cœur de ses extrême et moyenne raisons. En doublant P24, 94-76-29 mène à 199, le Lucas suivant 123 = 47+76.
Les 24 Fugues, seules, totalisent 1269 mesures, soit 27 x 47, en remarquant F1 = 27. Une subdivision notable apparaît entre les 8 premières, 423, soit 9 x 47, et les 16 dernières, 846, soit 18 x 47. Ce dernier groupe est particulièrement remarquable puisqu’il débute avec F9 = 29 = 47 – 18 et s’achève avec F24 = 76 = 29 + 47. Et les 18 x 47 mesures sont suivies de la signature SDG, 18-4-7 !
Prescience de Bach ou coup de pied occulte de la destinée, l’ensemble PF1 recevra le numéro de classification BWV 846 = 18 x 47 (jusqu’à PF24 BWV 869).
Le rapport exact ½ entre les 8 et 16 Fugues est loin de se retrouver pour les Préludes. Les 8 premiers somment 387, les 16 autres 432 notés ou 479 exécutés. Pour les 8 et 16 PF on a les rapports 810/1278 = .634 ou 810/1325 = .611. On peut approcher un peu mieux la Raison Dorée avec l’harmonieux rapport au tout 1325/2135 = .621.
Je ne creuserai pas plus avant les possibles relations à l’intérieur des Fugues ou des ensembles PF, il y a déjà pas mal à dire sur les Préludes, totalisant 819 mesures (866 exécutées). Ici aussi une répartition 2/1 est possible, mais il faut prendre les 14 premiers d’une part (14 !), 546 mesures, les 10 derniers totalisant 273 mesures.
Il y a d’abord les 47 ou 2 x 47 mesures du particulier P24. Avec les 27 x 47 des Fugues au complet, on a 29 x 47, avec 29 = JSB ou SDG, mais JSB s’impose en l’occurrence avec le partage des Fugues en 9 et 18 fois 47, J et S.
Outre la signature JSB, 29 x 47 est un produit de deux Lucas consécutifs, enrichi par son partage en 11 et 18 fois 47. Voir ce qui a déjà été dit précédemment sur les 16 dernières fugues, en soulignant que ce 29 x 47 s’achève sur les 29 + 47, 76 mesures de F24. P24 (=47) conclut les 10 Préludes de somme 273 = 13 x 21, 13 et 21 étant les Fibo correspondant aux Lucas 29 et 47.
29 x 47 = 1363, or les 819 mesures des 24 Préludes se factorisent en 13x63. Si cette relation est outrée, elle ne l’est pas plus que par exemple 798 = 21x38 considéré comme une signature péremptoire par Van Houten et autres.
Dans la même veine outrancière, qu’il me semble malhonnête d’éluder, on peut encore constater que l’ajout aux 819 mesures des Préludes des 27 mesures de F1, en considérant donc la totalité du BWV 846, donne 846 précisément. Autrement dit, en dissociant Préludes (catalogués 846a à 869a) et Fugues (846b…), on a 846 mesures de 846a à 846b. En oubliant la coïncidence, l’opération qui donne ce 18 x 47 est exactement symétrique, par rapport au « centre », à celle qui vient de donner 29 x 47, avec une petite anicroche, P24 étant compté tantôt pour 47, tantôt pour 94. Sans artifice maintenant, on peut avancer une structure pour la totalité des 2088 mesures (36 x 58) en 3 sommes décomposables en facteurs qui soient des nombres de Lucas ou leurs doubles :
- 24 Préludes + F1 = 846 = 18 x 47
- 7 Fugues = 396 = 18 x 22
- 16 Fugues = 846 = 18 x 47
Incidemment ceci offre quelque parallèle avec la structure envisagée par Walter Corten pour une autre série de 2088 mesures, dans L’Art de la Fugue, qu’il scinde en 899, 290, 899, avec 899 = 29 x 31 (L’Analyse Musicale, avril 1988).
Si 22 peut correspondre à l’initiale de Xristus, 47 est la valeur de Deus. Ainsi JSB (=29) aurait-il montré une certaine humilité en bâtissant l’ensemble 29 x 47, jugement qu’il faut bien tempérer devant PF24, 47+76, ce dernier nombre étant volontiers interprété comme 2x1x38, B.A.CH : 29/47 = (à peu près) 47/76 peut ainsi se décoder JSB x BACH = Dieu au carré.
47 n’a pas dit son dernier mot. En approfondissant le découpage des 24 Préludes en 14 (=546) et 10 (273=546/2), on découvre la subdivision suivante :
- les 11 premiers = 470 (10 fois 47)
- P12+P13+P14 = 76 (tiens donc ?)
- P15 + P16 = 38 (76/2 et P15 = P16 = 19)
- les 8 derniers = 235 (470/2, s’achevant sur P24 = 47)
Les exégètes en « Arithmétique Sacrée » ont une certaine tendance à oublier les puissances de 10 qui ne les arrangent pas, conséquence de notre absurde système de numération où 0 signifie à la fois Rien et Tout, mais passons… Rien ne nous dit que Bach n’ait pas eu aussi cette tendance, et peut-être a-t-il voulu cette évolution de 546/273 = 2 en 470/76 = 235/38 = 6.18. Si 6.18 n’a rien à voir avec la Raison Dorée .618, les esprits faibles peuvent s’y abuser, mais le cas présent donne une pertinence remarquable à un tel jeu car le nombre 273 à la base de l’affaire est le produit de deux Fibo consécutifs (avec 13/21 = .619), soit, pour le premier groupe :
546 = 2 (13 x 21) = 47(0) + 76
ou 2 (F7 x F8) = L8 (x10) + L9
Je renonce à rappeler toutes les résonances avec des relations précédentes.
Il est encore possible de laisser de côté P24 pour avoir 11+7 Préludes donnant 10+4 fois 47, 14 point de mire de toute recherche bachique. Quelques contorsions permettent d’obtenir une répartition 2-1-3-8 : dans le premier groupe les 8 P2 à P9 totalisent 376, 8x47, et P1+P10+P11 donnent 94, 2x47 ; dans le second P20+P23 = 47 et il reste 141 = 3x47 pour les 5 autres. Avec les 24 Fugues 9x47 + 18x47 on trouve 42 pièces de total 41x47, le 41 étant décomposable en J-S-B-A-C-H.
P24 dans sa version bissée fait parvenir à 43 pièces = 43x47, 43 valeur de Credo, pas sans rapport avec Deus (= 47, mais il faudrait considérer plutôt ici l’accusatif Deum = 41).
Reste les 5 Préludes P12 à P16 donnant 114. Les 114 Sourates du Coran s’accordant mal au décor, je mettrai encore à contribution P24 bissé pour obtenir la signature connue 208 = 2x13x8, et donc une autre structure totale du recueil :
(J-S-B-A-C-H) (Deus) + B.AC.H = 2135
Après tout 114 se distingue par son partage en 2 et 1 fois 38, aussi une triple signature est envisageable, à partir de 2135 auquel il manquait justement 3 :
(BACH) (Deus) + (B+A) (CH) +
(JSB) (Deus) = 2135
546/14 = 39 ; les 14 premiers Préludes ont une moyenne exacte, qui est celle de P4. Sur le manuscrit autographe de 1722, Bach a noté ce nombre 39 à la dernière mesure de P4, ce qu’il n’a fait que pour une seule autre pièce, F1 avec ses 27 mesures ouvrant les 27x47 mesures des 24 Fugues.
On peut donc considérer avec attention P4 = 39, alors que P14 = 24 : 24/39 = 8/13 (deux Fibo) = .615. Les 4 premiers Préludes ont 216 mesures, 4 x 54, les 10 suivants 330, 10 x 33 : 33/54 = 11/18 (deux Lucas) = .611.
Il apparaît maintenant une redoutable symétrie avec les deux partages 2/1 des deux colonnes, en 14+10 pour les Préludes, et 8+16 pour les Fugues (14 = 546 et 16 = 846). Les 16 derniers Préludes totalisent 432 (P24 non bissé), les 14 premières Fugues 699 : 432/699 = 144/233, les Fibo de rangs 12 et 13, donnant une excellente valeur de la Raison dorée, .618026 (pour .618034).
Sans creuser comme promis du côté des Fugues, les 16 Préludes = 432 = 16 x 27, tiens donc…, comme la première Fugue qui suit, avec son 27 noté par Bach. Les 16 P se répartissent séquentiellement en 7 P = 178, 5 P = 144, 4 P = 110, avec 110/178 = 55/89, la paire de Fibo précédant 144/233.
La paire de Lucas correspondant aux Fibo 144/233 apparaît parmi les 18 Préludes de P6 à P23, totalisant 521 mesures, se répartissant en 3 P = 136, 12 P = 322 (ce sont les 178+144 du cas précédent), et 3 P = 63 : 322/521 = .618042.
Après ces 18, il y a P24 qu’il est bien tentant de relier aux Fugues ; avant, 5 Préludes totalisent 251, permutation de 521. Toute l’extrême ingéniosité de Van Houten ne m’a pas convaincu de sa thèse d’un Bach adepte de la Rose-Croix, mais je dois bien avouer que ce dernier point rappelle le découpage qu’il fait des Sinfonien en 173 + 371 mesures (avec 17-3 = R-C). 251 est la valeur de Christian RosenCreutz, fondateur de l’ordre, suivie donc d’une relation d’or sur 521, puis du JSB x 47…(251 est ici calculé selon l’alphabet latin de 23 lettres, qui ne change rien aux autres résultats étudiés ici, excepté X=22 qui devient X=21.)
ré mi schulz, l’11 de Xbre, la Saint Daniel 01
Je n’ai pu laisser les choses en l’état, et me suis donc penché plus attentivement sur Fugues d’une part, ensembles PF d’autre part. Essentiellement, ceci débouche sur une magnifique relation autour de laquelle s’articulent plusieurs autres belles relations :
En doublant la
pièce 14, le total des 24 pièces donne le 14e
terme d’une suite de type Fibonacci.
J’ai donné le début des deux premières suites de type Fibonacci, dont revoici les termes 1-2-3… et 12-13-14…, avec les termes de mêmes rangs des deux suites suivantes ne se confondant pas avec celles-là, et le rapport des 2 derniers termes, proche de .618034 :
1 – 1 – 2 … 144 – 233 – 377 … (.618037 : la suite classique de Fibo)
1 – 3 – 4 … 322 – 521 – 843 … (.618031 : la suite de Lucas)
1 – 4 – 5 … 411 – 665 – 1076 … (.618030)
1 – 5 – 6 … 500 – 809 – 1309 … (.618029)
Vérification d’abord : en ajoutant les 24 mesures de P14 au total 819 des Préludes on obtient 843 ; en ajoutant les 40 mesures de F14 au total 1269 des Fugues on obtient 1309 ; on a 2152 pour l’ensemble des PF, 2 fois 1076, c’est-à-dire que 2152 serait le 14e terme d’une suite débutant par 2-8.
Avant 1309 il n’y a que 8 nombres envisageables en tant que 14es termes type Fibo, 377, 843 et 1076 d’une part, 2 et 3 fois 377 ensuite (correspondant à des suites de premiers termes 2-2 et 3-3), 610 et 987 enfin (et 1220 double de 610), les termes suivants de la suite de Fibo (mais qui donnent en conséquence une meilleure approximation que les « vrais » 14es termes, ainsi 610/987 = .618034).
On a donc 843 pour les Préludes et 1309 pour les Fugues, verticalement, mais le doublage de PF14 amène à 1309 pour les 14 premiers PF, les 10 derniers totalisant 843. C’est la conséquence d’une égalité entre les 14 P (546 + 24 = 570) et les 10 F (570).
Il y a moyen de découvrir des partages idéaux de 843 comme de 1309. Les nombres 521 et 322, extrême et moyenne raisons de 843, ont déjà été vus dans les Préludes, le 322 démarrant de P9, autre Prélude de 24 mesures. En admettant que ce soit ce P9 qui soit doublé, on aurait P1-P9a = 411, P9b-P20 = 322, P21-P24 = 110. Le 12e terme de la série type Fibo 1-4 est 411, et 110 est deux fois le 10e terme de la série 1-1.
Le partage des Fugues est miraculeusement similaire : la moyenne raison 500 de 1309 apparaît pour 9 F démarrant sur F14, la seule qui ait 40 mesures. On a F1-F14a = 699, F14b-F22 = 500, F23-F24 = 110. Encore 110, et 699 est le 3x233 dont je me suis émerveillé précédemment. Ces rencontres ne sont en rien de simples hasards, mais bel et bien des modes de construction de termes fibonacciens parfaitement reproductibles. Ainsi, 3x233 + 2x55 = 809, et 3x377 + 2x89 = 1309 ; pour l’exemple précédent, 411 + 2x55 = 521, et 665 + 2x89 = 843. Ce ne sont que des exemples des multiples relations entre termes fibonacciens, mais des relations aussi immédiates et aussi symétriques sont néanmoins remarquables.
En revanche les nombres 1330 ou 822, extrême et moyenne raisons du total des PF (2088 + PF14 = 2152) n’apparaissent pas à première vue. Toutefois la réflexion précédente sur 1309 et 809 m’a fait prendre conscience que 2088 se situait à 30 de 2118, terme d’ordre 15, or la seconde partie du P24 a 30 mesures. C’est a priori bizarre de ne pas opérer les mêmes répétitions pour une pièce à reprises, mais c’est hautement fibonaccien ; P24 vu comme 1:1 mène à 2088, vu comme 1:2 à 2118, et vu comme 3:2 à 2152. Plus besoin de doubler PF24 dans cette optique, qui me semble néanmoins trop tortueuse pour être creusée plus avant.
Ajouts du 23/10/03 :
Triple buse que je suis. Après avoir
envisagé un rôle doré pour P14 et F14, je ne m’étais pas avisé que PF14
totalisait 64 mesures, et que la partition d’or de 64 donnait au mieux les
entiers 24 et 40, précisément le découpage effectif P = 24 et F = 40. C’est le second ensemble PF idéalement
proportionné, avec P24 = 47 et F24 = 76, seul autre ensemble PF idéal.
Il existe une seule partition d’or
idéale dans le second volume du Clavier bien tempéré, et qui survient
précisément pour les PF14, avec 43 mesures pour le prélude et 70 mesures pour
la fugue.
Ce n’est pas tout, mais j’étudie plus
en détail ces PF14 ici.
Ces relations du second recueil peuvent confirmer l’idée de doubler les PF14 du premier. En considérant 25 PF on aurait donc le second PF14 en 15e position, section d’or de l’ensemble, avec 15/25 = 24/40, le propre découpage de ce PF. Et considérer les 3 PF en rapport d’or conduirait à la valeur 251 de Christian Rosencreutz : 64 + 64 + 123 = 251.
P14 = 24, alors que P24 est la seule pièce à reprises, alors que 24 est un autre nombre bachien essentiel, le rang même que Bach s’est octroyé dans son arbre généalogique, Bach maître des 24 tonalités dont le Clavier bien tempéré est la démonstration.
Si j’avais vu que les 10 P suivant P14 totalisaient 273, ou 13x21, deux Fibonacci, je n’avais pas fait attention que 522, somme des 13 P précédant P14, se factorisait 18x29, deux Lucas. Incidemment, je remarque les 3 premières décimales de la division 273/522, soit .522.
D’autres travaux sur le Clavier bien tempéré, non guidés par la Raison Dorée, m’avaient mené à distinguer l’ensemble des 15 PF9 à PF23, où les 15 P totalisent 385 mesures, exacte moitié des 770 mesures des 15 F. Ce groupe, de rapport trivial P/F = ½, est suivi par le dernier couple PF24 où P/F = .618. Si les 15 Fugues comptent le double de leurs Préludes, les 16 Fugues en comptant la dernière totalisent le double des 8 premières. Je rappelle que ce total est 846 = 18x47, qu’il débute sur F9 = 29, 18-29-47 étant trois termes successifs de Lucas. Le total des 15 PF9 à PF23 est 1155 = 21x55, il s’achève sur F23 = 34, et 21-34-55 sont trois termes successifs de Fibo.
Je finirai sur une belle double relation sur les Fugues.
En laissant de côté F1 et ses fameuses 27 mesures, les 11 Fugues F2-F12 totalisent 597, 3x199, exactement répartis en 4 F = 3x76 (F2-F5) et 7 F = 3x123 (F6-F12) ; 4-7-11 et 76-123-199 sont deux séries de Lucas, entre lesquelles on trouve 18-29-47 abondamment évoqués. On trouve plus loin F19 = 54 = 3x18 et F20 = 87 = 3x29 (et bien sûr F19-F20 = 3x47).
Voilà pour la première moitié des Fugues. Idem pour la seconde, on laisse de côté F13 et les 11 suivantes donnent 610, le 15e Fibonacci. Si 11 se partageait plus haut en 4+7, c’est 7+4 qui est privilégié ici car les 7 Fugues à partir de F14 totalisent 377, le 14e Fibonacci, et les 4 dernières 233.
Et toujours 4-7, D-G du SDG achevant cette dernière Fugue, P24 = 47, les 24 Fugues = 27x47, etc.
L’an 01 :
Xbre/16
Schulz / Joann-Sebastian
|
|
P1 |
F1 |
PF1 |
|
P2 |
F2 |
PF2 |
|
1 |
35 |
27 |
62 |
C dur |
34 |
83 |
117 |
|
2 |
38 |
31 |
69 |
c moll |
28 |
28 |
56 |
|
3 |
104 |
55 |
159 |
Cis dur |
50 |
35 |
85 |
|
4 |
39 |
115 |
154 |
cis moll |
62 |
71 |
133 |
|
5 |
35 |
27 |
62 |
D dur |
56 |
50 |
106 |
|
6 |
26 |
44 |
70 |
d moll |
61 |
27 |
88 |
|
7 |
70 |
37 |
107 |
Es dur |
71 |
70 |
141 |
|
8 |
40 |
87 |
127 |
dis moll |
36 |
46 |
82 |
|
9 |
24 |
29 |
53 |
E dur |
54 |
43 |
97 |
|
10 |
41 |
42 |
83 |
e moll |
108 |
86 |
194 |
|
11 |
18 |
72 |
90 |
F dur |
72 |
99 |
171 |
|
12 |
22 |
58 |
80 |
f moll |
70 |
85 |
155 |
|
13 |
30 |
35 |
65 |
Fis dur |
75 |
84 |
159 |
|
14 |
24 |
40 |
64 |
fis moll |
43 |
70 |
113 |
|
15 |
19 |
86 |
105 |
G dur |
48 |
72 |
120 |
|
16 |
19 |
34 |
53 |
g moll |
21 |
84 |
105 |
|
17 |
44 |
35 |
79 |
As dur |
77 |
50 |
127 |
|
18 |
29 |
41 |
70 |
gis moll |
50 |
143 |
193 |
|
19 |
24 |
54 |
78 |
A dur |
33 |
29 |
62 |
|
20 |
28 |
87 |
115 |
a moll |
32 |
28 |
60 |
|
21 |
20 |
48 |
68 |
B dur |
87 |
93 |
180 |
|
22 |
24 |
75 |
99 |
b moll |
83 |
101 |
184 |
|
23 |
19 |
34 |
53 |
H dur |
46 |
104 |
150 |
|
24 |
47 |
76 |
123 |
h moll |
66 |
100 |
166 |
|
|
819 |
1269 |
2088 |
|
1363 |
1681 |
3044 |
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Les 2 volumes du Clavier bien tempéré, de 1722 et 1744. Certains nombres du volume II sont à discuter (plusieurs éditions, reprises, anacrouses non compensées…)
Exemple trivial de roublardise avec les pièces en E du volume II, E qui est Mi, et P9 = mi-P10 comme F9 = mi-F10 ; le jeu s’étend aux reprises des Préludes, en 24 et 30 mesures d’une part, 48 et 60 de l’autre ; ou encore la 10e pièce vaut 2 fois la pièce E (=5).