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Sacré Bach !

 

 

Avant d’aborder ma découverte la plus hallucinante, sinon la plus hallucinée, dans le Clavier bien tempéré, il me semble indispensable de préciser quelques points.

 

La « divine proportion », soit 0.61803… (ou son inverse 1.61803… plutôt appelé « nombre d’or ») est parfois confondue avec la « division sacrée », soit 0.70710… (ou son inverse 1.41421).

Ces deux rapports connus de l’antiquité sont réputés avoir été des canons esthétiques. Alors qu’on connaît surtout la divine proportion, ou section d’or (golden cut), il n’existe aucune  preuve décisive que les anciens aient utilisé pratiquement ce rapport vénéré, tandis que la division sacrée (sacred cut), bien moins souvent citée, semble avoir été employée massivement par les architectes romains.

Ces deux rapport sont les solutions des équations x2 = x + 1 et x2 = 2, soit (√5+1)/2 et √2.

Ces nombres irrationnels algébriques ont une profonde ressemblance qui n’est apparue pleinement qu’après la découverte des fractions continues, bien longtemps après que les Grecs aient vénéré ces rapports. Ceux qui ont vraiment envie de savoir ce que c’est exactement le trouveront sur

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue

Ce qui importe ici est que les représentations en fractions continues de ces 2 nombres sont :

(√5+1)/2  = [1,1,1,1,1,1,1,…] (des 1 à l’infini) et

    √2       = [1,2,2,2,2,2,2,…] (des 2 à l’infini après le 1 initial)

Seules ces deux fractions de ce type correspondent à des nombres ayant un intérêt historique.

Selon le nombre de 1 considérés, la première fraction fournit des fractions réduites composées de nombres successifs de la suite de Fibonacci

  1 /   1

  2 /   1

  3 /   2

  5 /   3

  8 /   5

 13 /   8

...   ...

233 / 144 (au 12e rang)

377 / 233

...   ...

Chacune de ces fractions représente à son niveau la meilleure approximation de (√5+1)/2.

La seconde fraction continue fournit selon le même principe une série de paires de nombres appelées Colonnes de Pythagore (ou moins poétiquement suite A002965), chaque fraction représentant à son niveau la meilleure approximation de √2.

  1 /   1

  3 /   2

  7 /   5

 17 /  12

 41 /  29

 99 /  70

239 / 169 

...   ...

Il y a des tas de choses à dire sur ces deux familles de nombres dérivées des deux rapports, mais j’en ai dit suffisamment pour pouvoir maintenant aborder Bach.

 

J’étudiais ici les tonalités en rapport d’or dans les deux volumes du Clavier bien tempéré, en m’attachant aux cas remarquables où une relation dans un volume avait une correspondance dans les mêmes tonalités de l’autre volume.

Je n’avais fait que mentionner les paires 18-15 et 22-14 du second volume, car aucune relation dorée n’apparaissait dans les tonalités correspondantes du premier, mais la prise en compte des Colonnes de Pythagore ci-dessus révèle un extraordinaire parallélisme.

Voici les nombres de mesures dans les deux volumes des Préludes et Fugues composant le couple des paires 18-15 et 22-14. Les tonalités sont données dans leur ordre normal :

 

rang

P1

F1

PF1

 

 

P2

F2

PF2

 

14

24

40

64

 

 169

43

70

113

 

 233

15

19

86

105

48

72

120

18

29

41

70

 

 169

50

143

193

 

 377

22

24

75

99

83

101

184

 

96

242

338

 

224

386

610

 

 

Les relations d’or 193/120 et 184/113 du second volume ne sont pas très bonnes individuellement (quoique optimales selon ma définition), mais leur couplage amène un idéal 377/233, deux nombres de Fibonacci, et c’est ainsi le meilleur couple de l’ensemble du CBT, car les tonalités de poids fort sont deux des trois plus lourdes de l’ensemble. Les nombres en rapport d’or sont donnés en bleu/rouge (non souligné), mais toutes les relations n’ont pu être représentées, en raison de leur nature récurrente.

Face à cet idéal apparaît un rapport encore plus parfait dans le premier volume, puisque c’est le rapport 1, la plus simple égalité. Le nombre concerné n’est pas indifférent, puisque 169 est le carré de 13, 7e terme de la suite de Fibonacci. On peut passer au 13e terme, F13 = 233, par l’addition des carrés de F6 et F7 : 233 = 82 + 132 = 64 + 169; on remarque que 64 figure dans le tableau, harmonieusement puisque cette équation correspondrait à l’addition des tonalités 22-18-14, les 3 tonalités mineures altérées symétriques, correspondant au groupe de trois touches noires du clavier.

Il est formidable de trouver ce même nombre 169 réparti exactement de la même manière dans les paires 14-15 et 18-22 pour former deux relations dorées et deux relations sacrées.

Les relations sacrées, soulignées et en gras, sont idéales car faisant intervenir les nombres des Colonnes de Pythagore, 169, réparti en 99/70 (= 1.41428…, très bonne approximation de √2), 70 lui-même réparti en 41/29 (= 1.41379…).

A ce 41/29 sacré correspond le 40/24 doré du PF 14 qui intervient dans maintes relations.

Le partage optimal doré de 169 serait 104-65, mais 105-64 est presque équivalent car le partage du carré d’un nombre de Fibonacci n’est jamais proche d’un entier, laissant pour petite section un nombre légèrement supérieur au carré précédent augmenté de 0.5, imposant en principe d’arrondir à l’unité supérieure. Ici la petite section de 169 est 64.55…

On pourrait considérer la somme 169+105, dont le partage optimal est bien 169-105, mais il ne s’agit pas ici d’arriver à tout prix à ce qui devrait être le « bon » résultat. 105-64 et 104-65 sont pratiquement équivalents, et le premier partage permet le jeu 64 + 169 = 233.

Pour l’ensemble des 2x169 mesures, le partage bien meilleur 209-129 peut s’obtenir en jouant avec les 40 mesures de la Fugue 14, ce qui est remarquable puisque cette Fugue est le dernier élément d’une autre série de 209 mesures.

Le partage sacré des 2x169 mesures arrive comme par miracle exactement après les 29 mesures du Prélude 18 ; c’est en fait une conséquence logique de la présence des nombres des Colonnes de Pythagore, tels qu’ils sont ordonnés.

 

A ce stade on pourrait s’estimer comblé : à la meilleure relation fibonaccienne du second volume correspond dans le premier la fantastique architecture que je viens de tenter de décrire.

Ce n’est pourtant pas terminé, et le second volume recèle un autre formidable équilibre au sein duquel tous les nombres semblent trouver sens.

C’est d’abord évidemment le parfait rapport d’or au sein du PR 14, déjà bien connu. C’est essentiellement à cause des rapports d’or dans les deux PR 14 que je me suis lancé dans des investigations dorées systématiques chez Bach, mais la relation particulière 43-70-113 offerte ici ne peut manquer d’évoquer la relation sacrée 29-41-70 du PR 18 du premier volume.

Les Fugues 18 et 22 attirent l’œil exercé, et effectivement 143/101 = 1.415… est une bonne division sacrée.

Il y a donc parmi les 8 pièces quatre nombres en rapport doré ou sacré, et quatre autres nombres. L’idée vient aisément d’additionner ces deux groupes pour obtenir 357 (43+70+143+101) et 253, avec 357/253 = 1.411… Ce n’est pas un très bon rapport, mais c’est néanmoins le partage optimal selon la division sacrée de 610, le 15e terme de la suite de Fibonacci dont le parfait partage en 377 et 233 a motivé d’examiner ce qui se passait dans le premier volume, pour y découvrir la division sacrée. Retour à l’envoyeur.

 

C’est effarant, et pas encore terminé. Les 4 nombres du second groupe ne sont pas tout à fait quelconques. Les Préludes des Fugues en rapport sacré ne sont pas loin d’être en rapport doré, 83/50 = 1.66 (les bons rapports sont 83/51 ou 81/50).

Le Prélude et la Fugue 15 sont en rapport 2/3 (ou 3/2), le rapport musical par excellence de quinte.

Puisque le groupage des rapports 70/43 et 143/101 a semblé riche en conséquences, je remarque encore la somme de leurs poids faibles, 43+101 = 144, le nombre de Fibonacci précédant 233 et 377…

 

Presque rien ici ne semble laissé à la contingence ; quand une légère imperfection se fait sentir, il n’est jamais certain que cet écart ne cache pas une harmonie plus riche encore. J’ai par ailleurs plusieurs autres pages sur les relations numériques dans le CBT, mais je remets à plus tard l’étude de comment peut s’y imbriquer ce nouvel équilibre.

J’ai essayé d’éviter toute expression impliquant des intentions bachiennes derrière cette architecture, tout simplement parce que je ne peux y croire, mais ce n’est que mon humble avis, et je n’ai aucune explication rationnelle à proposer.

 

Il est bien sûr tout à fait possible que d’autres aient des idées sur la question. Sur le site de maths, on ne peut plus sérieux, où est présentée la suite A002965 (les Colonnes de Pythagore), sont indiqués deux liens externes vers des articles savants. Le premier,

       Pierre Lamothe, En marge du probleme des cercles tangents

est en français, mais d’une telle complexité que j’avoue ne pas y comprendre grand chose. Je peux néanmoins y lire que les nombres de Fibonacci comme ceux des Colonnes de Pythagore seraient liés d’une certaine manière au tempérament, soit au prétexte même du Clavier bien tempéré.

L’autre, en anglais, mentionne aussi des applications musicales.

 

Je crois comprendre qu’il est important que le nombre des 12 demi-tons de la gamme classique appartienne à cette suite, et que des gammes alternatives privilégiées pourraient être basées sur d’autres nombres de la suite.

Ceci n’ayant sans doute aucun lien, je remarque que la division immédiate des 12 notes est en 7 notes naturelles et 5 notes altérées, 7/5 étant un rapport des Colonnes. Avec les mêmes réserves, j’observe encore que les 5 notes altérées se répartissent en deux groupes évidents, visuels sur un clavier, de 2 et 3, 3/2 étant le rapport précédent des Colonnes (peu significatif il est vrai).

J’ai indiqué plus haut la correspondance des tonalités mineures 14-18-22 avec le groupe de 3, ce qui suggère d’aller voir ce qu’il en est des deux autres tonalités mineures altérées, 4-8.

Je n’ai pas besoin de me reporter à mes tableaux pour me rappeler que les tonalités 4-14 dessinent une formidable harmonie d’or, mais la 8 amène un nouvel ahurissement.

 

J’ai mentionné à diverses reprises l’étrange livre, paru dans une collection sérieuse, émettant notamment la thèse que Bach connaissait depuis longtemps la date de sa mort le 28 juillet 1750, et qu’il aurait codé dans son œuvre des nombres associés à cette date, les plus immédiats étant 1750, 287 et 209 (le 28/7 est le 209e jour de l’année).

Alors voilà : les PR4 des deux volumes totalisent 287 mesures, les PR8 209 !

La thèse susdite admise, il sera facile d’imaginer que Bach n’aurait eu aucune peine à connaître les numéros BWV attribués après sa mort à ses œuvres, ou plus probablement à diriger lui-même depuis l’autre monde cette classification, sinon comment expliquer ce qui suit ? Les tonalités 14-18-22 sont centrées sur la tonalité 18 ou sol dièse mineur (gis en allemand…), dont les numéros BWV sont 863 et 887, de somme 1750 ! Cette tonalité 18 était idéale puisque 1750 est l’exact milieu du 18e siècle !

Les cinq tonalités mineures altérées sont complétées par la tonalité 15 (sol majeur), qui pourrait être la dernière touche de l’œuvre, achevée en 1744, somme de ses numéros BWV, 860 et 884.

Le BWV 884 à lui seul pourrait signer une belle relation croisée entre les deux volumes, son partage doré idéal en 546 et 338 se lisant en couplant 169 et 377, face aux 338 mesures du premier volume. Ces nombres correspondent à une relation fibo 34-21-13 multipliée par 26.

 

rémi schulz, le 14/12/06

 

Annexes :

La confusion entre divine proportion et division sacrée se rencontre notamment dans Le Nombre d’or, de Ghyka (1931), où page 155 de la seconde partie est énoncé que le format DIN apparu en Allemagne en 1928 correspondait au rectangle d’or, chacun sait aujourd’hui que c’est un rapport √2.

HE Huntley dans sa Divine Proportion évoque aussi le format DIN. S’il ne se trompe pas pareillement, du moins décrète-t-il que l’harmonie du rapport √2 pourrait être due à sa proximité avec le nombre d’or… Pourquoi pas le contraire ? ou pourquoi ces rapports algébriques complexes ne jouiraient-ils pas de leur proximité avec la proportion simple 3/2 ?

Ghyka commet une belle bourde page 131 de la première partie en confondant l’Art de la Fugue et le Clavier bien tempéré, dont il ne parle d’ailleurs que pour des motifs esthétiques sans lien direct avec son nombre d’or.

Hormis quelques coquilles, ce sont les deux seules grosses erreurs que j’ai repérées (ce qui ne signifie évidemment pas qu’il n’y en a pas d’autres), et je trouve amusant qu’elles concernent √2 et le Clavier bien tempéré.

Chacun a droit à l’erreur, mais je suppose que parmi les nombreux lecteurs de l’ouvrage certains ont eu à cœur de les signaler à l’auteur, lequel n’en aurait alors manifestement pas tenu compte dans les rééditions de son vivant (il est mort en 65).

Je trouve une autre probable confusion dans un fascicule de Guy Mourlevat, à propos de facture d’orgue (ce qui m’évoque Bach). Il y est dit qu’il faut multiplier le diamètre d’un tuyau d’orgue par phi pour obtenir l’octave inférieure ; mes pauvres connaissances en acoustique me soufflent qu’il s’agit bien plus probablement de √2 (ainsi le volume du tuyau est multiplié par 2, provoquant une vibration de fréquence divisée par deux).

 

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Parmi mes supputations iconoclastes et dorées, j’ai envisagé une correspondance entre les rangs des trois PR dorés parmi les « 48 », soit les 14-24-38, et les 38 chapitres de Hypnerotomachia Poliphili, répartis en deux parties de 24 et 14 chapitres. Un même partage des 38 lettres de l’acrostiche célèbre du livre fait découvrir un partage doré optimal de la valeur gématrique totale 408 de ces 38 lettres :

POLIAM FRATER FRANCISCVS CO- = 252

-LVMNA PERAMAVIT = 156

(on peut le vérifier sur cette page en précisant le codage « latin par rang ».)

Ayant remarqué que la coupure se fait sur le mot columna (colonne), et que 408 est un nombre des Colonnes de Pythagore, j’ai essayé d’aller plus loin mais sans trouver quoi que ce soit justifiant un partage sacré 239-169.

Mes préoccupations oulipiennes m’ont fait songer à un ensemble de 408 lettres dont une lecture parlerait du nombre d’or, et une autre, anagrammatique, de √2, avec les césures adéquates dans chaque cas. L’ampleur de la tâche m’a dissuadé, mais c’est bien plus facile avec 70 lettres, et, Bach m’ayant ouvert le chemin, voici une tentative avec deux définitions attribuées à d’hypothétiques matheux (aux noms formés avec les lettres résiduelles de l’anagramme) : 

« Ce qu'on appelle la division sacrée, c'est racine de deux, ou son inverse. » (Simon Norturin)

Alec Ceese : « La divine proportion est la racine de cinq moins un sur deux, ou son inverse. »

Les césures 29-41 et 27-43 tombent après « division sacrée » et « divine proportion ».

C’est une autre curiosité que les 3 formes abrégées de signatures de Bach soient :

JSB = 29 ; JS Bach = 41 ; Joh. Seb. Bach = 70 (selon l’alphabet numérique qui lui est prêté) : sacré nom de… (j’étudie ici une possible équivalence entre BA-CH et GOTT, Dieu)

Devant ce petit prodige, j’en viens encore à soupçonner dans la redondance des BACH = 14 une vision prophétique de l’approximation courante aujourd’hui de √2, 1.414.

 

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Sans rapport avec la musique, cet article sur la phyllotaxie montre comment √2 pourrait constituer une alternative au nombre d’or privilégié par la nature :

http://www.ac.wwu.edu/~mnaylor/naylor-seeds.pdf