(p)résumé vivant

Bach résumé vivant

Un récent développement de mes recherches sur le Clavier Bien Tempéré (CBT) m’amène à un frappant parallèle avec l’œuvre de Bach qui en est la plus proche dans la forme, les Inventions, double série de 15 pièces dans les mêmes tonalités.

Ce parallèle fait largement intervenir l’interprétation qu’ont proposée Van Houten et Kasbergen (VHK) dans Bach et le nombre, lecture qui m’a profondément troublé il y a près de 20 ans. J’y ai fait maintes fois allusion dans mes pages Bach, affichant mes réticences envers les hypothèses de VHK mais aussi mon admiration pour leurs constructions. Si mes propres investigations m’avaient amené à mettre en évidence certains accommodements de VHK avec la musique de Bach pour appuyer leurs thèses, j’ai longtemps considéré comme inattaquable sur le plan méthodologique leur interprétation des Inventions, sans pour autant l’accepter pour une preuve de leurs hypothèses.

Un musicologue averti (ce que je ne suis pas) peut cependant facilement balayer ces spéculations en soulignant qu’une première forme des 30 Inventions apparaît en 1720 dans le Clavierbüchlein écrit pour son fils Wilhelm Friedemann. Les différences sont menues avec la version définitive de 1723, également autographe de Bach, mais plusieurs nombres de mesures sont concernés, or l’interprétation de VHK est basée sur les nombres de mesures de la version définitive, correspondant selon eux à une architecture intentionnelle d’une cohérence telle qu’elle est incompatible avec la préexistence d’une autre version, dont ils ne soufflent mot.

L’intentionnalité ôtée, il reste la cohérence, et leur hypothèse d’un Bach devin ayant connu depuis longtemps le jour exact de sa mort est si fantastique que diverses hypothèses non moins fantastiques pourraient rendre compte de cette cohérence. Mon approche ferait intervenir quelque chose de l’ordre de la synchronicité jungienne plutôt qu’une volonté bachienne de transmettre un message numérique complexe, mais je ne me risquerai pas à préciser davantage, me jugeant plus doué pour l’analyse numérique que pour la théorisation.

Avant d’aborder le parallélisme entre le Clavier bien tempéré (CBT) et les Inventions, il me faut donner un résumé des spéculations de VHK, bref car le chapitre correspondant de Bach et le nombre est actuellement entièrement lisible sur GoogleBooks. Les 30 Inventions se répartissent en 15 Inventions proprement dites, à 2 voix, et 15 Sinfonies à 3 voix dans les mêmes tonalités :

VHK ont remarqué que les 544 mesures des Sinfonies correspondent à la valeur numérique de l’épitaphe de Christian Rosencreutz, prétendu fondateur de la Rose+Croix, selon des documents que les historiens actuels voient relever du canular. Il est possible de faire correspondre les 8 valeurs des 8 mots de l’épitaphe, ACRC hoc universi compendium vivus mihi sepulchrum feci (Autel de Christian RosenCreutz, de mon vivant je me suis fait ce tombeau, résumé de l’Univers) aux 15 Sinfonies en groupant certaines d’entre elles. Si certaines correspondances s’imposent, plusieurs solutions restent possibles, et ce serait dans les Inventions que Bach aurait caché la clé départageant ces solutions, car deux égalités correspondant à des mots de l’épitaphe apparaissent entre des triades I. et S. de mêmes rangs :

J’ai vérifié à l’aide d’un petit programme examinant toutes les triades possibles parmi les 15 (455 possibilités) que ces deux cas étaient les seuls, ce qui est extrêmement impressionnant. Toujours est-il que choisir ces options lève toute ambiguïté et livre une correspondance unique Epitaphe-Sinfonies :

Cette unique solution présente en outre un bel équilibre : les 4 premiers mots de l’épitaphe correspondent à des pièces dont la somme des rangs est 60, de même que les 4 autres mots. Par ailleurs la somme 120 des rangs des 15 Sinfonies est un nombre associé au tombeau de Rosencreutz, découvert 120 ans après sa mort. VHK donnent d’autres harmonies sur ces rangs.

VHK proposent ensuite un quadruple autre message des Sinfonies, complété par les Inventions :

– la première et la dernière S. ont 21 et 38 mesures, signature BA-CH ; du côté des I. on a 22 et 22, à lire X dans l’alphabet de 24 lettres présumé utilisé par Bach, initiale de Xristus ;

– les S. de tonalités B-a-c-h totalisent 158 mesures, valeur de Johann Sebastian Bach ; leur ajouter les 94 mesures correspondantes des I. mène à 252, valeur de Christian Rosencreutz ;

– les 10 autres S., rangs 3 à 12, totalisent 365 mesures, à comprendre « année », précisée par les 372 mesures des I., à comprendre « an 1750 (mort de Bach) » dans l’hypothétique calendrier rosicrucien, démarrant de la naissance de Rosencreutz en 1378 ;

– enfin les 1^espièces, en double emploi avec la première relation, forment la valeur 43 de credo, annonçant la profession de foi rosicrucienne qui suit.

VHK donnent deux exemples d’œuvres de Bach où 544 mesures encadrent 35 mesures (lues 28+7 pour le 28 juillet date du décès de Bach) ou 372 (encore l’an rosicrucien correspondant à 1750), mais leurs découpages des 544 mesures en correspondance avec les 8 mots de l’épitaphe semblent forcés, loin du parfait équilibre des Sinfonien où il est déjà frappant d’avoir une correspondance immédiate pour les 4 petits mots.

Ma dernière étude sur le CBT m’a mené à un prodigieux équilibre doré des tonalités BA par rapport aux tonalités baCcHh, sur l’ensemble des deux volumes. Je rappelle que je ne fais aucune hypothèse sur l’origine de ces relations, et que c’est un programme élémentaire d’analyse des équilibres dorés dans le CBT, peu suspect de subjectivité, qui a révélé l’implication des tonalités bach.

Ce nœud des tonalités BA m’a fait examiner de près les 8 nombres de mesures des pièces les composant, 4 Préludes et 4 Fugues, et découvrir une étrange harmonie indépendante des catégories propres à chaque pièce :

	P₁	F₁	P₂	F₂
A	24	54	33	29
B	20	48	87	93

– 4 nombres composent 3 relations d’or en cascade, soit après division par φ (1.618) et arrondissement au plus proche entier

87 / φ ≈ 54

54 / φ ≈ 33

33 / φ ≈ 20

– ces 4 nombres totalisent 194, moitié des 388 mesures totales des tonalités AB ;

– les 4 autres nombres totalisent évidemment aussi 194, avec cette particularité qu’ils permettent de composer 2 à 2 les relations haute et basse précédentes :

93 + 48 = 87 + 54 (= 141),

33 + 20 = 29 + 24 (= 53).

Par ailleurs 194 peut être isolé dans les tonalités bach majeures et mineures, correspondant à la somme des mesures des seuls Préludes à reprises dans ces tonalités, et il se trouve que ces tonalités sont B-a-c-h, plus exactement dans l’ordre h-c-a-B, seule possibilité ordonnée permise par les deux volumes du CBT. J’ai calculé que ce seul choix permettant d’obtenir Bach dans l’ordre, ici rétrograde, correspondrait à 1 chance sur 1820 s’il était donné d’avoir 4 préludes à reprises parmi les 16 tons bach, mais il n’était en rien obligé que cette condition nécessaire soit remplie.

Ce tableau résume les équivalences 194 :

8 Préludes & Fugues AB dans le désordre
87	54	33	20	= 194
93 + 48		29 + 24		= 194
B₂	a₂	c₂	h₁	= Bach
87	32	28	47	= 194

J’étais trop obnubilé lors de ces découvertes par l’harmonie générale des tonalités bach pour envisager une éventuelle signification aux nombres 388 ou 194, qui ne m’évoquaient qu’une petite chose que je n’ai pas jugée alors digne d’être mentionnée, j’y reviendrai.

En écrivant la présente étude je me suis avisé d’une curiosité indépendante de ces valeurs, ne concernant que l’égalité entre les tons Bach et la somme de 4 nombres en progression géométrique approximative, quelle que soit cette somme. C’est que la gamme allemande offre la particularité d’avoir 4 lettres désignant des demi-tons successifs, a-b-h-c, 4 lettres permettant aussi d’écrire le nom de la plus prestigieuse famille de compositeurs. Or le Clavier Bien Tempéré était destiné à promouvoir un mode d’accordage permettant de jouer dans toutes les tonalités, mode dont le détail exact est incertain mais qui ne pouvait que tendre vers ce qu’on appelle aujourd’hui le tempérament égal, où les fréquences des demi-tons sont en exacte progression géométrique, de raison $\sqrt[12]{2}$ (environ 1,05946).

En fait le point de départ de cette étude a été la constatation que le Prélude en B de 87 mesures figurait dans les deux égalités 194, d’où je me suis interrogé sur le partage de 194 en 87 + 107. Ça m’a rappelé quelque chose, j’ai ouvert Bach et le nombre, et redécouvert qu’il s’agissait des valeurs des mots centraux de l’épitaphe, Compendium = 107 et Vivus = 87, mots étrangement entrelacés dans la correspondance vue plus haut :

Il y aurait des possibilités ici de renforcer les thèses de VHK, en remarquant que ces nombres viennent d’une autre signature dans les tonalités Bach, avec 87 correspondant à B, alors que le mot Vivus se rapporte à CRC, également associé à la tonalité B dans les Sinfonies. Curieusement, le produit des deux nombres associés, 24x87, donne 2088 nombre de mesures du premier volume du CBT, et leur somme 24+87 = 111 correspond à un autre mot de l’épitaphe, Universi complémentaire de Compendium. A remarquer que la valeur de Vivus se décompose en un terme médian, 33, et deux termes extrêmes de somme 54, nombres présents dans la progression 87-54-33-20.

Je rappelle que ces nombres 87 et 111 correspondent aussi aux triades de I. ou S. totalisant les mêmes valeurs, ce qui pourrait éventuellement justifier de s’intéresser aux 5 S. de somme 87+107 sans se référer à l’épitaphe.

Quelle qu’en soit la justification, cet intérêt mène à quelque chose de tout à fait nouveau, aux multiples échos :

– les 5 S. sont précédés de 7S., total des mesures 224 = 16x14, total des rangs 28 = 2x14 ;

– les 5 S. sont suivis de 3S., total des mesures 126 = 9x14, total des rangs 42 = 3x14.

Partout 14, indicatif supposé de BACH, et la relation 16+9 = 25 évoque le triangle 3-4-5 de Pythagore, aussi nommé Triangle d’ISIS.

ISIS : nous sommes à l’intérieur des Inventions et Sinfonies, I. et S., termes choisis par JS Bach, ou IS Bach puisque J est identique à I dans l’alphabet de 24 lettres prêté à Bach. Ce sont encore 15+15 pièces, et les spéculations homologuant 1515 à ISIS sont courantes. Il ne s’agit aucunement ici de suggérer l’appartenance de Bach à quelque secte isiaque plutôt que rosicrucienne, mais d’initier une piste qui est loin de se limiter à ce premier résultat.

Il est frappant de trouver dans la construction de VHK les 3 petits mots triviaux Hoc-Feci-Mihi aux rangs 3-4-5 des Sinfonies (tandis que l’autre petit mot, non trivial, ACRC, occupe le rang d’honneur 14).

3-4-5 est appelé « triplet pythagoricien », c’est le premier générant un triangle rectangle de côtés entiers. Ces triplets font toujours intervenir pour l’hypoténuse un multiple d’un nombre premier de la forme 4k+1, ici 5. Le suivant est 13, dans le triplet 5-12-13, avec 5² + 12² = 13², ou 25 + 144 = 169, or il se trouve que 194, correspondant aux Sinfonies 8 à 12 (87+107), est aussi la somme 169+25, tandis que les Inventions parallèles 8 à 12 totalisent 144 mesures (qui est aussi la valeur des prénoms Johann Sebastian = 58+86).

Il y a aussi possibilité de considérer 194 comme 144+50, et de voir la moyenne des I.S. 8 à 12 (somme des rangs 50) exprimer l’équation 12²+5² = 13², ce qui est frappant puisque les 5 S. partagent les 10 autres S. en 16 et 9 fois 14, pouvant exprimer 4²+3² = 5².

Il s’impose de regarder ce qui se passe pour les 10 I. correspondantes, de somme 344 peu évocatrice, pas plus que sa répartition parallèle aux 7+3 S. Une alternative existe car une seule des 30 pièces est à reprises, l’I. 6 en E dont le doublage des 62 mesures porte la somme précédente à 406, soit 29x14. Ce résultat pourrait être jugé significatif par lui-même, 29 étant la valeur des initiales JSB, mais il est peut-être plus joli de considérer comme précédemment la moyenne avec les S. parallèles de somme 350 = 25x14, soit 27x14 pouvant se lire JS ou ISxBACH pour ces I. et S. de Bach (dont la somme des rangs 70 correspond encore à la signature attestée Joh. Seb. Bach).

Je suis depuis longtemps frappé par la possibilité d’écrire avec les initiales de Bach le mot BIS (latin « double »), pouvant se traduire en équation BxI=S, 2x9=18, alors que Bach a bissé plusieurs de ses créations, les 15 Sinfonies après les 15 Inventions précisément (S. après I., 18 après 9), les 24 Préludes et Fugues du CBT2 après ceux du CBT1.

Je me suis également interrogé sur l’autre nom de la note E, mi, dont le sens français « moitié » n’était peut-être pas ignoré de Bach qui pratiquait un peu notre langue. Je signalais dès ma première page Bach en ligne en 2001 le cas des pièces en Ee du CBT2 :

Les 2 volumes du Clavier bien tempéré

	P1	F1	PF1		P2	F2	PF2
1	35	27	62	C dur	34	83	117
2	38	31	69	c moll	28	28	56
3	104	55	159	Cis dur	50	35	85
4	39	115	154	cis moll	62	71	133
5	35	27	62	D dur	56	50	106
6	26	44	70	d moll	61	27	88
7	70	37	107	Es dur	71	70	141
8	40	87	127	dis moll	36	46	82
9	24	29	53	E dur	54	43	97
10	41	42	83	e moll	108	86	194
11	18	72	90	F dur	72	99	171
12	22	58	80	f moll	70	85	155
13	30	35	65	Fis dur	75	84	159
14	24	40	64	fis moll	43	70	113
15	19	86	105	G dur	48	72	120
16	19	34	53	g moll	21	84	105
17	44	35	79	As dur	77	50	127
18	29	41	70	gis moll	50	143	193
19	24	54	78	A dur	33	29	62
20	28	87	115	a moll	32	28	60
21	20	48	68	B dur	87	93	180
22	24	75	99	b moll	83	101	184
23	19	34	53	H dur	46	104	150
24	47	76	123	h moll	66	100	166
	819	1269	2088		1363	1681	3044

Les 2 volumes du Clavier bien tempéré, de 1722 et 1744. Certains nombres du volume II sont à discuter (plusieurs éditions, reprises, anacrouses non compensées…)

Exemple trivial de roublardise avec les pièces en E du volume II, E qui est Mi, et P9 = mi-P10 comme F9 = mi-F10 ; le jeu s’étend aux reprises des Préludes, en 24 et 30 mesures d’une part, 48 et 60 de l’autre ; ou encore la 10^e pièce vaut 2 fois la pièce E (=5).

On pourra retrouver sur le tableau ci-dessus les relations 1-2 suivantes :

– c’est précisément à ce cas de PF2E = 194 et PF2e = 97 que j’ai songé en découvrant les diverses harmonies 194 ;

– il y a bien plus longtemps, lorsque je me suis jeté à corps perdu dans ce tableau de nombres, émerveillé par la lecture de Bach et le nombre, l’attention portée aux 3 PF1 de somme 53 (du 9^e en E au 23^e en H, en passant par le 16^e médian en g) m’a fait découvrir ceci : les 15 préludes ainsi bornés, 9 à 23, totalisent 385 mesures, tandis que les fugues correspondantes en comptent 770, double de 385 ; je ne me rappelle plus avoir alors établi de rapport impérieux avec les 15 I. et 15 S. (comme par exemple d’avoir remarqué que la somme des rangs 9 à 32 est 240, double de la somme 120 des rangs 1 à 15) ;

– parce que les notes e-f présentent comme les notes a-b et h-c un intervalle d’un demi-ton, s’écrivant aussi avec une seule lettre selon la notation allemande, et parce que Bach a émis la formule Fa Mi et Mi Fa est tota Musica, j’ai étudié ces tonalités 9 à 12 pour découvrir ceci : en comptabilisant les reprises des préludes, les PF totalisent 1155 mesures dans les deux volumes, soit le 385+770 précédent, et 385 correspond à e, mi mineur, 770 double de 385 aux 3 autres tonalités ;

– si ces relations sont simples (du simple au double plutôt) prises séparément, une vision globale est déjà vertigineuse (PF2 en E moitié du PF2 en e, tandis que PF1-2 en e moitié 385 des tonalités environnantes EFf 770, équilibre se retrouvant verticalement entre 15 P1 et F1…), et ce qui suit tient du chiasme au 3 ou 4^e degré…

– c’est heureusement assez simple à expliquer, car étant parti des Sinfonies 8 à 12 et ayant rencontré la dernière relation sur les PF 9 à 12, il n’est pas absurde d’y adjoindre les PF 8 en dis, ré# mineur, et ainsi obtenir 1400, soit 20x70 pour 20 pièces, alors que les 10 autres Sinfonies encadrant les 8-9-10-11-12 totalisaient 350 ou 10x35, moitié de 70 ; c’était surtout la répartition 350 = 14x25 = 14x(16+9) qui m’avait retenu, or ici une répartition de 14x10² en 14x(64+36) ou 14x(8²+6²) est presque immédiate, en additionnant les F1 aux P2 (288+608=896=14x64) et les P1 aux F2 (145+359=504=14x36) ; 6-8-10 est le second triplet pythagoricien, correspondant à un triangle de dimensions doubles du triangle 3-4-5, tandis que le triplet suivant est 5-12-13, que j’ai pu associer aux I.S. 8 à 12 ;

– je rappelle que sans les 194 mesures des préludes à reprises Bach je n’aurais vraisemblablement jamais eu l’idée d’isoler les Sinfonies 8 à 12 ; il y correspond des préludes sans reprises, totalisant 152 mesures qui n’ont rien d’immédiatement évocateur, mais il est tout à fait curieux qu’en comptabilisant les reprises, les préludes Bach du premier volume du CBT totalisent 180 mesures, et ceux du second 360, le double ;

– 180, 360… l’ensemble des pièces BACHba ch dans les deux volumes totalise 1836 mesures, reprises comptabilisées encore ;

– enfin un retour aux I.S. : sans comptabiliser les reprises cette fois, l’attention aux triplets pythagoriciens a conduit à scinder les 488 mesures des I. en 344+144, ces dernières 144 étant couplées aux 544 mesures des S. ; sans calculs harassants, 344 est l’évidente moitié de 544+144…

rémi schulz, le 17/1/11 vulgaire, 20/5 de l’an pataphysique 138 (Saint Outlaw), je ne sais quel jour de l’an rosicrucien 633

Compléments :

Une étrange coïncidence apparaît entre le nombre 1940, 194 x 10, et les fréquences en Hz données par Wikipédia pour les notes abhc. A gauche les fréquences correspondant à l’intonation juste (voir le texte), au centre les fréquences calculées selon la gamme tempérée à partir de do=528 Hz, et j’ai ajouté à droite en rouge les fréquences calculées selon la gamme tempérée à partir de la somme 1940 pour 4 demi-tons (les fréquences précédentes totalisent 1940.75) :

a - la	440.00	443.99	443.82
b - la♯	475.20	470.39	470.21
h - si	495.00	498.37	498.17
c - do	528.00	528.00	527.79

Il faut décaler la virgule (le point) d’un cran pour avoir les nombres correspondant à 194, ce qui conduit à la somme 141.22 pour abh et à 52.78 pour c, nombres dont les arrondis entiers sont 141 et 53, les deux sommes obtenues en combinant deux à deux les 8 pièces AB du CBT. Par ailleurs l’arrondi le plus exact, 47, est présent parmi les Préludes Bach à reprises (hélas pour le h au lieu du B).

Selon cette gamme tempérée, deux notes ayant pour intervalle 6 demi-tons (ou triton) ont des fréquences dans le rapport √2 (1.414…). J’ai étudié quelques aspects de cette division sacrée des anciens ici, limités aux parallélismes avec des relations d’or. Il faudra y revenir, car une étude globale ouvre diverses pistes, avec notamment ceci :

– une relation √2 en triton dans le CBT2, pour G/Cis = 120/85 ;

– ceci se simplifie en 24/17, relation issue des Colonnes de Pythagore, couples de nombres donnant les meilleures approximations successives de √2, 2-3 donnant 3/2 et 4/3, 5-7 donnant 7/5 et 10/7, 12-17 donnant 17/12 et 24/17, etc. ;

– la relation 17/12 est aussi présente avec les 60 mesures de a ;

– les répartitions en prélude/fugue de Cis et G correspondent aussi aux Colonnes de Pythagore, avec 50/35 = 10/7, et 72/48 = 3/2 ;

– deux relations √2 en triton pour les 2 volumes du CBT réunis, avec Es/a = 248/175 et fis/c = 177/125 (couvrant donc un cycle de 4 tierces mineures) ;

– ces relations couplées livrent (248+177)/(175+125) = 425/300 = 17/12, et elles sont elles-mêmes dans le rapport 7/5 (exact pour 175/125, arrondi pour 248/177).

Les manifestes rosicruciens donnent une seule date de la vie de Rosencreutz, entre sa naissance en 1378 et sa mort en 1484, l’an 1459 où il aurait connu l’initiation contée dans Les Noces Chymiques (1616). Ceci répartirait sa vie en 81 et 25, soit les carrés de 9 et 5, de somme bachienne 14…

Bach a vécu plus modestement 65 ans, un âge qui correspond cependant au premier produit de deux nombres premiers différents de la forme 4k+1, 5x13 ; en conséquence il y a deux triangles pythagoriciens avec 65 pour hypoténuse, l’un de côtés 39-52, l’autre de côtés 60-25. 65 est par ailleurs le premier nombre qui soit de deux manières somme de deux carrés différents, 1+64 et 16+49 (carrés de 1 8 4 7 rappelant la formule SDG, 18-4-7, utilisée par Bach ?)

C’est la répartition 7-5-3 qui m’a mené au Triangle d’Isis. Ce triangle est un symbole essentiel pour les Francs-Maçons, correspondant notamment à leur équerre de côtés 3-4 ; certaines obédiences connaissent aussi une progression symbolique 3-5-7, de signification variable ; je lis dans le Dictionnaire thématique illustré de la Franc-Maçonnerie :

On se rend compte que, finalement, on est plus près d’une relation « trois-sept » que d’une figure à trois chiffres « trois-cinq-sept » (…)

Et ce sept serait essentiellement un 3+4, en troublant écho aux 7+3 Sinfonien dessinant le motif 4² + 3².

15 correspond encore au nombre de marches de l’escalier qu’un apprenti maçon doit gravir pour devenir Maître, parfois associées à la progression 3-5-7.

Enfin il est admis que l’agitation soulevée par les manifestes rosicruciens au début du 17^e siècle a eu au moins une part dans la création des premières loges maçonniques, dont certaines connaissent d’ailleurs des grades Rose+Croix.

Et le nombre d’or dans les Inventions ? Peut-être faudra-t-il étudier ça aussi de près, car je vois au moins deux points immédiats :

– il y a deux tonalités altérées, Es et B, en quinte, livrant 32-20 pour les I. et 38-24 pour les S., partages dorés entiers de 52 et 62 ;

– les 5 I. 8 à 12 livrent une remarquable relation Fibonacci, à condition de coupler les pièces en G et g (ce qu’il est aussi tentant de faire pour le CBT1 avec Gg = 14 = Bach, 105+53 = 158 = Johann Sebastian Bach), soit

144 = 34 + 34 + 55 + 21