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ERIR est le propre de Bach

 

 

Mes recherches sur le Clavier bien tempéré m’ont conduit à remarquer des coïncidences faisant intervenir les numéros BWV concernés, ce qui ne peut évidemment être imputé à une quelconque intention bachienne puisque la classification BWV a été établie de 1946 à 1950 par le musicologue Wolfgang Schmieder.

De nouvelles coïncidences m’ont porté à faire le point sur les relations impliquant les numéros BWV des « paires en fis », soit les ensembles Prélude-Fugue en fa# mineur, les 14es de chaque livre du CBT, les seuls ou les nombres de mesures du Prélude et de la Fugue sont en rapport d’or, selon tous les critères, ce qui m’avait particulièrement frappé puisque 14 est le « nombre de Bach », B-A-C-H = 2-1-3-8.

J’ai d’abord eu un motif personnel de m’émerveiller du numéro BWV de la paire 14 en fis du second livre, 883, car j’avais composé plusieurs années avant de m’intéresser au nombre d’or l’ode Toi l’été, pour illustrer le principe de parité saussurienne évoqué dans mon roman Sous les pans du bizarre (1999). Assez miraculeusement, j’avais ensuite pu utiliser l’ode sans changer une seule de ses 72 lettres dans le cadre d’une contrainte numérique portant sur 60 lettres réparties en 10-11-12-13-14. Plus miraculeusement, j’ai pu découper ainsi les 18 lettres du dernier vers,

la FaIm deS printempS

de manière à exprimer 2-1-3-8 dans les 14 lettres significatives.

Par la suite, je me suis avisé que la valeur numérique de l’ode était 883, numéro BWV de la paire 14 en fis du second livre, alors qu’un total hasard, néanmoins déterminé depuis l’écriture de l’ode, avait voulu que les lettres mises en majuscules pour exprimer BACH = 14 étaient FIS(S).

J’ai étudié ceci dès la première page où j’ai relaté la propriété commune des paires 14, où je notais aussi une coïncidence effective à l’intérieur du CBT : la section d’or entière de 883 est 546, or les 14 préludes 1 à 14 du premier livre du CBT totalisent 546 mesures.

Il y avait une autre petite chose dont je n’ai pas retrouvé trace dans mes pages, qui me semble aujourd’hui magnifiée par une nouvelle vision des choses.

J’avais vu que 883/546 était la moyenne des deux rapports fibonacciens consécutifs suivants :

21 et 34 > 21.21 + 34.13 = 441 + 442 = 883

13    21      13.21.2         546      546

Or la moyenne des deux rapports fibonacciens consécutifs précédents est :

8  et 13  > 8.8 + 13.5 = 64 + 65 = 129

5      8      5.8.2         80      80

Ma page suivante m’amenait à constater que ces nombres correspondaient aux dates de naissance et de mort de Bach (le 21 mars 80e jour de l’année et le 28 juillet 209e, 129 jours plus tard), en curieuse résonance avec les allégations de Van Houten et Kasbergen qui voyaient en Bach un être en telle harmonie avec le cosmos qu’il aurait connu très tôt le jour de sa mort, revenant en leitmotiv dans ses compositions, notamment sous la forme 209.

J’ai cherché si une combinaison immédiate 80-129 apparaissait dans le CBT, et en ai trouvé une, en relation immédiate avec les précédents résultats puisqu’elle concerne les 3 paires 12-13-14 du premier livre du CBT, concernant de plus les tonalités f-moll, Fis-dur, fis-moll, de gématries 54+74+81 = 209.

Je n’avais pas alors remarqué que les nombres de mesures des 3 paires, 80, 65 et 64, correspondent aux nombres intermédiaires dans le calcul de la moyenne des fractions 8/5 et 13/8, ce qui établit un autre lien avec le BWV 883 du livre 2.

 

 

P1

F1

PF1

 

P2

F2

PF2

 

12

22

58

80

f moll

140

85

225

E

13

30

35

65

Fis dur

75

84

159

R

14

24

40

64

859  fis moll  883

43

70

113

I

15

19

86

105

G dur

96

72

168

R

 

J’ai inclus sur le tableau ci-dessus la paire 15 et les paires correspondantes du second livre afin de faire apparaître une nouvelle découverte troublante. J’avais remarqué que 129/80 était la seule relation dorée entre trois ensembles PF consécutifs, mais ceci ne valait que pour un critère de calcul, celui sur la musique écrite, ne comptabilisant pas les reprises de certains Préludes. En tenant compte de ces reprises, il apparaît une seule autre relation entre trois ensembles PF consécutifs, où ce sont encore les tonalités Fis-fis qui sont concernées, avec 159+113 = 272 mesures ; ce n’est pas la tonalité précédente f qui permet une harmonie dorée, mais la suivante, G, comptant 168 mesures en doublant les 48 mesures du Prélude.

272/168 se simplifie en 34/21, le second rapport Fibo dont 883/546 est la moyenne.

Le doublement du Prélude en f fait apparaître une harmonie interne 140/85 proche du partage optimal de la somme 225, 139/86. Un couplage avec BWV 883 en parfaite harmonie dorée donne 225+113 = 338, le terme suivant dans la suite de type Fibo …-80-129-209-338-… soulignée par les tonalités correspondantes du premier livre.

J’ai à diverses reprises utilisé la correspondance entre les 24 tonalités du CBT et les 24 lettres de son titre original, DAS WOHLTEMPERIRTE CLAVIER. Les tonalités 12 à 15 ici concernées correspondent à ERIR, d’où le titre de cette étude. Une Relation Réellement Remarquable concernait les trois PF correspondant à des R dans le premier livre, de 65-105-170 mesures en comptant les reprises du Prélude 24. Les rapports en cascade 170/105 et 105/65 se simplifient en 34/21 et 21/13, dont la moyenne est 883/546.

 

Ce n’est qu’en 2008 que j’ai vu le nombre 859 apparaître dans une multiple relation dorée, qui m’est un temps apparue comme ma plus belle découverte.

Une recherche systématique sur les nombres correspondant aux tonalités dans les deux livres du CBT réunis a livré 4 harmonies dorées parfaites, 3 concernant les nombres les plus grands, l’autre le nombre le plus petit.

Ces 3 nombres les plus grands sont 289-287-283 de h-cis-b, somme 859, en harmonie avec 179-177-175 de C-fis-a, somme 531. Les fis sont toujours BWV 859 et 883, leur harmonie avec les cis ayant été repérée 5 ans plus tôt. Il est extraordinaire que ces cis-fis, ou tonalités 4-14, soient encadrés par b-a-C-h, les 4 lettres de BACH=14. Il l’est aussi que la dernière harmonie soit entre deux autres tonalités Bach, h-C, 203-125, dont la somme 328 appartient à la même suite additive que 531-859.

Les 4 harmonies réunies totalisent ainsi 859+531+328 = 1718 mesures, double de 859. Incidemment, Bach avait 33 ans en 1718, 33 valeur de fis, et il est envisageable que certaines pièces du CBT achevé en 1722 aient été déjà composées en 1718.

 

Ces nombres 1718 et 33 offrent un étrange écho aux hypothèses de Van Houten sur l’Art de la Fugue. Selon lui, la dernière partie du Contrepoint 14 aurait décrit, mesure par mesure, les 66 années de 1685 à 1750 vécues par Bach, et c’est assurément une curiosité que l’exposition du thème Bach du Contrepoint 14 se fasse sur 14 mesures, et s’achève mesure 207 qui est la 1685e en prenant en compte les 1478 mesures des 13 Contrepoints précédents.

Ainsi le Contrepoint 14 aurait dû compter 272 mesures, mais Bach aurait décidé de garder pour lui les 33 mesures correspondant aux 33 dernières années de sa vie, de 1718 à 1750, et le Contrepoint s’achève sur sa mesure 239, incomplète, formée des 3 notes achevant les 3 thèmes superposés, fdd = 14, et de 7 croches au ténor edchahd = 33, dernier clin d’œil de Bach selon Van Houten.

Sans vouloir en aucune façon valider cette thèse, je remarque que

– fis = 33 est la 7e note de la gamme chromatique et la 14e tonalité ;

– ce qui se passe dans les tonalités fis du CBT est formidable en soi, mais les relations d’or mises en jeu concernent précisément des nombres associés par Van Houten à la mort de Bach, 209 correspondant au 28 juillet, 272 qui aurait été la dernière mesure du Contrepoint 14 et la 1750e de l’Art de la Fugue.

 

J’avais jusqu’ici privilégié les comptes sans les reprises des Préludes, sinon seule l’harmonie cis-fis subsiste parmi les 1718 mesures qui deviennent 1825. J’accorde plus d’importance à ces reprises depuis que j’ai découvert que les 4 Préludes à reprises des tonalités bachiennes concernaient précisément B-a-c-h, et que leurs 194 ou 388 mesures correspondaient aux tonalités A-B absentes de la quadruple harmonie précédente.

Bref un tout nouveau résultat prenant en compte ces reprises est la somme pour les 14 premiers Préludes du CBT2, 1172, soit 1718 en ajoutant les 14 premiers Préludes du CBT1, moyenne 859 entre CBT1 et CBT2. Voici le détail des opérations (où les nombres soulignés correspondent aux Préludes à reprises, ici doublés) :

 

35 + 38 + 104 + 39 + 35 + 26 + 70 + 40 + 24 + 41 + 18 + 22 + 30 + 24 = 546

34 + 56 + 50 + 62 + 112 + 61 + 71 + 72 + 108 + 216 + 72 + 140 + 75 + 43 = 1172

 

Je rappelle que 546 est la section d’or de 883. Ainsi les 14 Préludes BWV 846 à 859 du CBT1 sont-ils en rapport avec 883, et leur adjoindre les 14 Préludes correspondants du CBT2 (BWV 870 à 883) conduit-il au double de 859.

Bien entendu les calculs divers sont opérés selon une logique rigoureuse : soit aucune reprise n’est comptée, soit toutes les reprises sont comptées.

Les 1718 mesures des 14 premiers P1P2 me rappellent encore que les recherches à partir des 1718 mesures des 4 relations dorées vues plus haut m’ont mené à 1718 mesures pour 14 F1F2 : à ces 4 relations parfaites peut être ajoutée une 5e, moins bonne, Cis-E, et il reste alors 14 autres tonalités où les Préludes totalisent 1302 et les Fugues 1718.

 

rémi schulz, le 22/02/11

 

Annexes :

Les Préludes à reprises se signalent par des subdivisions qui ne manquent pas d’attirer l’attention de l’arithmologue. Si je n’avais trouvé jusqu’ici aucun écho dans diverses analyses portant sur ces subdivisions, ce n’est plus le cas pour les subdivisions des 6 premiers Préludes à reprises du CBT2 ici concernés, qui comptent 144 mesures pour les premières parties, 208 pour les secondes.

Mon ami JP Le Goff s’est intéressé aux nombres 52 et 36, correspondant entre autres aux nombres de touches blanches et noires du piano moderne, et a découvert une curieuse relation. Selon une très bonne approximation, l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés 52 et 36 est 63.25, ce qu’on peut écrire :

522 + 362 ≈ 63.252

J’ai multiplié ces nombres par 4 pour obtenir une relation en nombres entiers, soit

2082 + 1442 ≈ 2532

remarquant qu’un chemin suivant le périmètre du triangle ABC rectangle en C s’exprimerait, à partir de A jusqu’à B, par 208+144 = 352 (AC+CB) en passant par les cathètes, puis de B jusqu’à A par 253 (renversement de 352).

L’apparition des nombres 208 et 144 dans le CBT ne peut pointer vers les touches blanches et noires du piano moderne qui ne s’est imposé qu’au siècle suivant, le CBT ayant été composé pour les 51 touches du clavecin usuel (30+21), mais les « 48 » font cependant aujourd’hui partie du répertoire pianistique de base, et cette relation ne dépare pas dans cette page essentiellement consacrée aux coïncidences avec les numéros BWV…

Poursuivant dans cette voie, il est curieux que les 8 P2 sans reprises parmi les 14 totalisent 468 mesures, Plus Petit Commun Multiple des nombres 52 et 36, c’est à dire qu’on peut écrire pour ces 14 Préludes :

– les 6 à reprises = (52+36) x 4  (ou par 8 en comptant les reprises)

– les 8 sans reprises = (52x36) : 4

 

Incidemment, chaque fois qu’un 14 apparaît, il est tentant d’en chercher un découpage 2-1-3-8. Le 8 est immédiat ici, et les emplacements et découpages des Préludes à reprises peuvent se conjuguer pour faire 2-3-1 :

– les 2 premiers (2-5) offrent des découpages selon une division par 7 (12/16 = 3/4 et 16/40 = 2/5) ;

– les 3 suivants (8-9-10 consécutifs) offrent des découpages selon une division par 9 (16/20 = 24/30 = 48/60 = 4/5) ;

– le dernier (12) offre un découpage selon une division par 5 (28/42 = 2/3).

(les 5 autres Préludes à reprises offrent d’autres découpages, tous différents, correspondant à des divisions par 2,3,25,47,87)

 

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Ce qui a été dit plus haut des échos entre le CBT et l’Art de la Fugue, concernant fis = 33, a un autre prolongement.

Le critère principal pour le dénombrement des mesures dans le CBT est donc la prise en compte ou non des reprises des Préludes. Il y a 11 Préludes à reprises, totalisant 616 mesures, or 616 est aussi la valeur des 40 notes des 4 thèmes BACH de l’exposition du Contrepoint 14, mesures 193 à 207 :

b a c h cis d cis h cis d = 120

f e g fis gis a gis fis gis a = 188

b a c h cis d cis h cis d = 120

f e g fis gis a gis fis gis a = 188

Incidemment, 352 pour les 6 premiers P du CBT2, entre 47 pour le seul P du CBT1 et 217 pour les 4 derniers P du CBT2, correspond aux 4/7es de 616.

Un critère secondaire est les variantes éditoriales, ce qui semble au niveau des mesures ne concerner que le dernier Prélude du CBT2, en h correspondant à la dernière lettre de Bach. Il en existe deux notations, en noires en 66 mesures, et en croches en 33 mesures. La seconde a longtemps prévalu, car présente sur le plus vieux manuscrit complet du CBT2, de la main d’Altnikol gendre de Bach, mais il a ensuite été retrouvé un autographe de Bach en 66 mesures.

D’autres cas de doubles notations autographes, notamment pour l’Art de la Fugue, accréditeraient aisément l’idée que Bach se fichait éperdument de ses nombres de mesures, mais passons, puisqu’il ne s’agit pas ici de prétendre retrouver ses intentions.

Toujours est-il que ce 33 ou 66 achevant le CBT offre un curieux écho aux 66 mesures achevant le Contrepoint 14 selon Van Houten, réduites à 33 par Bach.

Les possibilités de doublement concernent donc les 616 mesures des 11 P à reprises, et les 33 mesures de ce dernier P, soit en tout 649, ce qui correspond aux deux relations d’or autour des tonalités fis,

– 209 = 129 + 80 dans le CBT1,

– 440 = 272 + 168 dans le CBT2.

Ces nombres additionnés livrent le rapport doré 401/248, avec 401 correspondant aux tonalités Fis-fis des deux livres du CBT (où il n’y a pas de reprises). 248 correspond à deux tonalités du CBT12, la 7e en Es (sans reprises) et la 21e en B initiale de Bach (sans compter les reprises du P2).

Avant de découvrir la possibilité d’architecture des 8 tonalités bachiennes détaillée ici, je déplorais de trouver pour B-A 248-140 plutôt que 240-148 en rapport doré. Je m’amuse aujourd’hui de trouver cette harmonie 401-248 dont les chiffres peuvent se réarranger en 240-148, autre harmonie dorée, ou en 144-208, le découpage vu plus haut des 1e et 2e parties (ou parties A et B) des 6 premiers Préludes à reprises du CBT2.