16 tons
I owe my soul to the tympano
score...
Sur cette page, j’étudiais rigoureusement toutes les relations
d’or entre tonalités dans le Clavier bien tempéré, et je me permets de
rappeler en détail la relation essentielle concernant les tonalités dans les
deux volumes réunis.
Le calcul
immédiat livre donc 4 relations d’or parmi les 24 totaux correspondant à chaque
tonalité, avec une première particularité : sont présentes les 3 tonalités
totalisant les plus grands nombres de mesures (289-287-283), et celle en
totalisant le moins (125). L’examen conduit à un bel équilibre : le total
des mesures correspondant à cette dernière relation d’or (328 = 203+125)
correspond à la différence entre les 3 tonalités les plus lourdes et leurs
mineures dorées (289+287+283 –179–177–175 = 328 = 203+125).
|
ton |
N° |
P1 |
F1 |
P2 |
F2 |
total |
|
h |
24 |
47 |
76 |
66 |
100 |
289 |
|
cis |
4 |
*39 |
#115 |
*62 |
#71 |
287 |
|
b |
22 |
24 |
75 |
83 |
101 |
283 |
|
totaux : |
P2 à |
F2 à |
321 |
538 |
859 |
|
|
C |
1 |
35 |
27 |
34 |
83 |
179 |
|
fis |
14 |
24 |
40 |
43 |
70 |
177 |
|
a |
20 |
28 |
87 |
32 |
28 |
175 |
|
totaux : |
P2 à |
F2 à |
196 |
335 |
531 |
|
|
|
||||||
|
H |
23 |
19 |
34 |
46 |
104 |
203 |
|
c |
2 |
38 |
31 |
28 |
28 |
125 |
Ceci
permet de lier l’ensemble de ces relations dorées, la mineure de l’une constituant
la majeure de la suivante, faisant apparaître ce qui pourrait ressembler à une
signature (les tonalités sont rangées par poids décroissants) :
h-cis-b / C-fis-a = 859 / 531
C-fis-a / H-c = 531 / 328
H-c / H
= 328 / 203
H / c
= 203 / 125
Il y
avait de fait déjà 4 tonalités BACH parmi les 3 relations lourdes, telles que
h/C et b/a encadraient cis/fis, soient les tonalités 4 et 14, remarquables
parce que les 4 lettres du nom BACH totalisent la valeur 14, et parce qu’à
l’intérieur de ces deux seules tonalités les pièces individuelles sont 2 à 2 en
relation d’or.
Autre
curiosité à l’intérieur des 3 relations lourdes, découvertes sans se soucier de
la répartition des mesures dans chaque tonalité, le découpage selon préludes et
fugues permet de retrouver l’équilibre 203/125 de la dernière
relation :
6 fugues lourdes : 538
6 fugues légères : 335
différence : 203
6 préludes lourds : 321
6 préludes légers : 196
différence : 125
Voilà.
J’ai vu les relations dans cet ensemble de 8 tonalités constituer le
« couronnement » de mes recherches, en regrettant toutefois que les
tonalités A et B (la et si majeur) en soient écartés, les seules tonalités
correspondant au nom du compositeur non utilisées.
J’avais
pourtant tenté d’étudier diverses possibilités de les inclure, pas toutes
semble-t-il car une nouvelle approche est apparue ce 19 avril, alors que
j’envisageais de traduire ce « couronnement » en anglais.
Les 8
tonalités BACHbach totalisent 1642 mesures dans les deux volumes du Clavier
bien tempéré. 1642 se répartit selon le nombre d’or en 1015 et 627, j’avais
certainement déjà fait ce calcul, mais probablement pas songé à poursuivre un
pas plus loin. La série 1642-1015-627 se prolonge par 388, qui n’est autre que
la somme des mesures des tonalités AB.
En
d’autres termes, Phi étant le nombre d’or, 1.618…, le rapport 1642/388
correspond au cube de Phi, 4.236…, et effectivement :
1642/4.236
= 387.63, arrondi au plus proche entier 388.
C’est une
relation presque du même type qu’on avait avec les 3 couples de poids fort
(h-C, cis-fis, b-a), totalisant 1390 mesures :
1390/4.236
=328.14, arrondi au plus proche entier 328, nombre de mesures du couple de
poids faible (H-c).
Presque du
même type, car ici le rapport est obtenu par rapport à l’ensemble BACHbach,
couple AB inclus.
On peut
aussi écrire BA = CHbach/2Phi, et ceci peut ouvrir à un ensemble idéalement
« doré », tel que 1642 = 627-388-627, pourvu qu’il apparaisse un
partage significatif des 1254 mesures en 627-627.
Aucun
partage n’est possible avec les 6 nombres correspondant aux deux volumes. En
séparant les 2 volumes, les 12 tons obtenus permettent 4 partages égaux 6-6, un
seul semblant significatif, et il l’est au-delà de toute espérance.
J’emploierai désormais le mot « tonalité » pour les 2 volumes réunis,
et « ton » pour un seul volume.
On a en
effet
b2
a1 c1-2 H1-2 = 627 d’une part, avec le couple
faible c-H présent en totalité.
b1
a2 C1-2 h1-2 = 627 de l’autre, avec le couple
fort C-h présent en totalité.
C’est un chiasme au niveau du couple médian
b-a, dont les composantes dans les volumes 1 et 2 sont fortement
dissymétriques, qui permet ce magnifique équilibre, tel que les mêmes tons,
majeurs et mineurs confondus, sont présents dans les deux groupes :
bacchh =
627
Voici un
tableau montrant cette répartition des 16 tons bach, avec les relations d’or en
bleu/rouge
(203/125, 289/179, [184+99]/[115+60] et 627/388).
|
BABA |
bacHcH |
|
b2 |
a1 |
|
c1-2 |
H1-2 |
|
|
627 |
= |
184 |
115 |
|
125 |
203 |
|
388 |
|
|
(+) |
(+) |
|
|
|
|
|
627 |
= |
99 |
60 |
|
179 |
289 |
|
(BABA) |
baChCh |
|
b1 |
a2 |
|
C1-2 |
h1-2 |
De quoi
rester BABA, et la répartition des tons mineurs baba a également de quoi
étonner.
Pour
équilibrer les 328 et 468 (différence 140) des relations cH et Ch, il fallait donc
299 et 159, or
299/Phi =
184.79, à arrondir au plus proche entier 185.
159/Phi =
98.27, à arrondir au plus proche entier 98.
Les
relations vues ci-dessus seraient toujours valables avec ces nombres, pourvu de
compenser par a1 = 114 et a2 = 61 (ce qui ferait perdre
la belle relation R4), mais le « choix »
réalisé (entre guillemets puisque je n’imagine aucune architecture consciente)
actualise l’autre possibilité « acceptable », les sections d’or
idéales se situant entre les entiers 184 et 185 d’une part, 98 et 99 de
l’autre.
De fait,
attendu qu’un rapport doré d’entiers est toujours approximatif, les solutions
« choisies » compensent les approximations des rapports horizontaux
donnés :
h/C =
289/179 < Phi, et 99/60 > Phi ; ensemble on a l’idéal partage de
627, 388/239.
H/c =
203/125 > Phi, et 184/115 < Phi ; ensemble on a le partage 387/240,
pas si mauvais car 627 fait partie de la catégorie des nombres peu favorisés
sous l’angle doré, sa section étant 387.507, très proche de 387 ½.
Si les
partages idéaux 185-114 et 98-61 avaient été effectifs, ils auraient également
conduit aux partages 387-240 et 388-239 pour les deux ensembles bachch.
A
remarquer que les fractions 184/115 et 99/60 se simplifient, en 8/5 et 33/20.
Ces réductions correspondent à des partages idéaux des sommes 13 et 53.
Dans
les autres paires de tonalités concernées, C-h et c-H, il n’apparaît rien qui
ressemble à une relation d’or croisée analogue à b2/a1 et
b1/a2 pour la paire b-a. Prêter attention à ce fait,
remarquable en soi, aurait pu conduire à découvrir le partage double bachch =
627, sans nécessité d’un recours à l’ordinateur pour analyser les 462
possibilités de partage 6-6 des 12 tons correspondants.
Si
627 fait partie de la plus mauvaise catégorie des « nombres dorés »,
alors son double 1254 est en corollaire favorisé, car sa section d’or est
proche d’un entier (775.01). J’avais déjà repéré cette précision en étudiant
les paires hHb/Cca (775/479), mais je n’y avais pas reconnu des nombres de la
Série Rouge du Modulor, alors que j’étudiais ici
plusieurs relations apparentées, concernant notamment les tons C et h.
Après
avoir vu combien était remarquables ces tons mineurs a-b, il convient de
s’intéresser aux tons majeurs A-B.
Jusqu’ici
j’avais déploré à chaque fois que je voyais leurs totaux, 140 et 248, que ce ne
fussent point 148 et 240, parfait partage d’or. Aujourd’hui je remarque que 140
correspond à la différence des paires C-h et c-H,
468
– 328 = 140, compensée dans l’équilibre « 627 » par
299
– 159 = 140, différence (b2+a1) – (b1+a2).
L’analyse
attentive du détail de ces tons A-B révèle un équilibre insoupçonné jusqu’ici.
|
|
P1 |
F1 |
P2 |
F2 |
|
A |
24 |
54 |
33 |
29 |
|
B |
20 |
48 |
87 |
93 |
Je
rappelle que mes investigations sur l’autre couple doré cis-fis, le 4e
du « couronnement », m’avaient conduit à découvrir les parfaits
rapports dorés F/P dans fis, et P/P et F/F dans cis. Tout se passe comme si ces
cas, uniques dans le CBT, constituaient un apprentissage permettant d’aborder
ce qui se passe ici.
Je
remarque donc deux rapports dorés, 87/54 (partage idéal de 141) pour P2B/F1A et 33/20 (partage idéal de 53) pour P2A/P1B. Il est ahurissant que les autres nombres de
chaque tonalité fournissent les mêmes
sommes 141 (48+93) et 53 (24+29).
Ceci
est plutôt contourné, et ne serait que d’intérêt très moyen en dehors du
contexte des relations bach. Nous avons vu que la séparation des tonalités a et
b selon les 2 volumes du CBT permet d’obtenir 8 nombres tels que
627
= 184+115+125+203 = (99+60) + (289+179)
avec
99/60 et 289/179 constituant des approximations complémentaires de Phi, telles
que (99+289)/(60+179) = 388/239 correspond au partage idéal de 627.
Et
voici que les 8 nombres obtenus grâce au découpage prélude-fugue des tonalités
A-B permettent un partage similaire, à partir de 388 section d’or de 627 :
194
= 24+29+48+93 =(33+20) + (87+54)
avec
33/20 et 87/54 constituant des approximations complémentaires de Phi, telles
que (33+87)/(20+54) = 120/74 correspond au partage idéal de 194 moitié de 388.
Il
est particulièrement frappant que le même rapport 99/60 ou 33/20 soit présent
dans les deux cas, dans les configurations inverses b1/a2
et A2/B1.
Cette
approche ne rend pas entièrement compte de la complexité du cas. Ainsi les
rapports 87/54 et 33/20 sont en cascade, c’est-à-dire que 33 est aussi section
d’or de 54, et 20-33-54-87 constitue donc la progression dorée correspondant à
une « mise en 4 » de la moitié des 388 mesures A-B.
Une
conséquence de ce fait est que les 140 mesures de A se répartissent idéalement
en 87 et 53, en intervertissant les préludes 1 et 2 par exemple.
Cet
autre tableau montre cette cascade et un autre groupe de 4 pièces totalisant
194 mesures. J’ai indiqué que certains préludes sont à reprises, ce qu’en
général je ne prends pas en compte dans mes analyses. Il se trouve qu’il y a 4
préludes à reprises dans les 16 tons bach, et qu’ils correspondent précisément
aux tons Bach, plus exactement à l’ordre rétrograde hcaB, la seule possibilité
permise avec les deux volumes du CBT. Pour avoir Bach dans l’ordre il aurait
fallu un 3e volume.
|
87 |
54 |
33 |
20 |
= 194 |
|
93 + 48 |
29 + 24 |
= 194 |
||
|
B2 |
a2 |
c2 |
h1 |
= Bach |
|
87 |
32 |
28 |
47 |
= 194 |
Je
découvre ceci en écrivant cette page, le 22/4, et ne sais qu’en penser. Il
s’agit donc du seul choix permettant d’obtenir Bach dans l’ordre, ici
rétrograde, ce qui correspondrait à 1 chance sur 1820 s’il était donné d’avoir 4
préludes à reprises parmi les 16 tons bach, mais il n’était en rien obligé que
cette condition nécessaire soit remplie, et d’autres éléments sont
troublants :
–
il n’y a aucun prélude à reprises avant h1, seul dans ce cas dans le premier
volume ;
–
il n’y a aucun prélude à reprises après B2 ;
–
entre hc et aB il y a 7 préludes doublés, de D2 à gis2,
soit sur une séquence de 14 tons, 14 = Bach… Les 14 préludes 5 à 18 (D à gis)
totalisent 441 mesures dans le volume 1 et 842 dans le volume 2, soit en tout 1283
mesures, ce qui a été considéré comme une « signature
bachienne » 1.2-8.3 = a.b-h.c, les prélude et fugue en C ouvrant le
volume 1 totalisant 1283 notes.
Si
je n’imagine guère une architecture dorée intentionnelle dans le CBT, ces jeux
ressemblent bien plus à ce qui est généralement accepté comme voulu par Bach,
par exemple le peu discutable thème BACH du 14e et dernier
Contrepoint de l’Art de la Fugue. La question reste pendante de savoir
pourquoi Bach, dont la créativité semblait illimitée, a ressenti le besoin de
prolonger 20 ans après le seul recueil qu’il ait nommé Clavier bien tempéré
par une autre série de 24 préludes et fugues dans tous les tons. Peut-être ma
folle démarche amène-t-elle un élément de réponse, et ce serait alors un autre
formidable hasard que les 194 mesures de ces préludes Bach correspondent à la
« clé » BA permettant d’envisager une architecture dorée incluant les
16 tons BACH.
Tout
ce qui a été vu jusqu’ici porte à considérer les tonalités CcHh comme monolithiques,
tandis que les 8 tons BbAa demandent des découpages internes pour dévoiler leur
harmonie cachée. C’est une curiosité que BbAa totalisent 846 mesures, soit le
numéro BWV de la première paire PF du CBT1, en C. Je rappelle que cette
classification date du 20e siècle…
Les
tons CcHh totalisent 796 mesures, offrant le partage idéal Hh/Cc = 492/304,
soit 4 fois 123 et 76, moyennes idéales
des paires PF lourdes Hh et légères Cc. Or non seulement 123 est le nombre de
mesures du dernier PF du CBT1, en h, mais il se répartit en 47-76 selon prélude
et fugue, le meilleur partage doré immédiat du CBT.
Chaque
fois que je vois 47-76 je pense à PEREC-GEORGES, et le développement logique des
dernières découvertes fait apparaître une relation magnifiant la similitude
déjà constatée de deux entreprises, l’exploration des 24 tons du CBT et la
combinatoire des 26 lettres dans Alphabets.
Le
« couronnement », déjà longuement commenté, incite à joindre les
tonalités cis-fis aux tons BbaaCcHh, d’autant que leurs 464 mesures semblent
faire écho à la disposition en 6-4-6 tons correspondant à l’équilibre
627-388-627 : les 20 tons totalisent 464+1642 = 2106 mesures.
2106
se répartit selon Phi en 1302 et 804. Tous ces nombres sont multiples de 6,
correspondant à la séquence 351-217-134, or Alphabets divise l’alphabet
en ses 10 lettres les plus courantes, AEIOULNRST = 134, et les 16 autres, de
valeur 217.
J’avais
écrit ces derniers paragraphes avant de découvrir les préludes Bach à reprises.
Inclure les reprises au calcul conduirait à 2106+194 = 2300, or 2300 était à
l’époque un nombre analogue à ce qu’est aujourd’hui 351, somme des rangs des 26
lettres de notre alphabet. Les maîtres arithméticiens luthériens utilisaient
volontiers ce nombre 2300 correspondant à la somme des valeurs triangulaires
des 23 lettres de l’alphabet latin, ainsi un pasteur nommé Michael
composa vers 1518 un ensemble de 316 vers ayant chacun cette valeur… En voici
quelques-uns, ce lien permettant de
les vérifier :
Ista est summa summarum = 2300
Summa summarum ex Alphabeto = 2300
Ex Alphabeto latino fit Numeris = 2300
Atque est Numerus Danielis = 2300
Ecce summa sacra totius Alphabeti = 2300
Et ecce fit pyramis triangulata. = 2300
Ecce hic Numerus est hoc Alphabetum = 2300
Ecce hoc viginti tribus literis = 2300
Et ex hoc numero computatio = 2300
rémi schulz, le 22/4, 112e
jour de 2010
PS :
Une petite explication pour mon titre et mon exergue. Il y a eu une chanson
très populaire dans les années 60, Sixteen Tons, notamment dans
l’interprétation de Paul Robeson. Son refrain s’achève sur I owe my soul to
the company store.
J’ai
d’abord procédé à un simple contrepet sur les deux derniers mots, devenant tompany
score (score « partition » en anglais).
Pas
très satisfait de tompany ne voulant rien dire, je me suis
avisé qu’une seconde interversion permettait d’obtenir tympano,
le préfixe « tympano- » rappelant aussi la musique.
J’ai
vu ensuite qu’il y avait 12 lettres dans company store, et que mes
interversions de deux paires de lettres équivalaient aux interversions
dans les deux paires de tons a1a2 et b1b2
parmi les 12, pour compenser la différence entre h1h2C1C2
et H1H2c1c2 (l’anglais compensatory
est l’anagramme de company store !)
Ma
marotte gématrique m’a fait calculer la valeur de l’expression, 164, et
constater que son partage doré 101-63 correspondait à celui entre lettres fixes
MPANSORE et lettres mutées COYT.
J’ai
achevé une première version de cette étude le 21 avril, avec cet exergue, avant
de m’aviser le 22 des possibilités offertes par les préludes à reprises, soit
la musique à l’oreille, au TYMPAN, plutôt que la seule musique écrite, la
PARTITION, the SCORE.
Alors
que mon étude amène à un ensemble de 20 tons, un autre sens de score est
« vingt ».
J’ai constitué cette playlist
sur YouTube avec les 4 préludes Bach dans cet ordre. Mes choix ont été très
restreints par des conditions drastiques, tous les clips devant ne comporter
que le prélude voulu avec toutes ses reprises, sans la fugue.