La preuve de quoi ? c’est justement le
problème, et il reste à trouver quelle(s) théorie(s) pourrai(en)t s’accorder
avec cette preuve…
Mais j’aime bien ce mot « preuve », qui me
semble justifié ici par la découverte d’une propriété se vérifiant dans tous
les cas de figure, 5 en tout, ce qui peut ressembler à un critère scientifique.
Cette propriété peut s’énoncer ainsi :
Dans chaque volume du Clavier bien tempéré,
comme dans l’ensemble des deux volumes, il existe en nombre pair des paires de
tonalités dont les nombres de mesures totaux sont en rapport d’or optimal.
Lorsqu’il y a plus de deux paires, une évidence immédiate permet d’accoupler
ces paires, et chaque couple livre au moins une remarquable relation
indépendante des raisons qui ont conduit à distinguer ce couple.
Je concède que certains des mots employés dans cet
énoncé ne sont pas rigoureusement scientifiques, mais j’espère que les termes
litigieux se verront justifiés lors de l’étude au cas par cas.
Je donne en fin de page le
tableau de tous les nombres de mesures des PF (Prélude et Fugue) dans chacune
des 24 tonalité et dans chaque volume (1 et 2), ainsi que la manière dont ce
tableau a été établi.
(R1)
– Je commence par les relations dans l’ensemble des deux volumes, car c’est là
que j’ai découvert le premier couple, à partir des relations à l’intérieur
d’une même tonalité, plus immédiates. J’ai expliqué ici
comment j’ai découvert que les deux relations d’or immédiates entre Prélude et
Fugue dans les deux volumes touchaient la même tonalité, 14, puis qu’il
existait une autre tonalité, 4, où c’était de Prélude à Prélude et de Fugue à
Fugue qu’apparaissaient des relations d’or optimales. L’étrange était qu’il
apparaissait de plus un rapport d’or optimal entre les nombres de mesures
totaux de ces tonalités 4 et 14, soit 287 et 177 mesures.
Le mot « extraordinaire » n’était pas outré
pour la suite : deux autres tonalités présentaient chacune d’autres types
de rapports d’or, et les nombres totaux pour ces tonalités 24 et 1, la dernière
et la première, étaient 289 et 179, encore en rapport d’or optimal. Voici le
tableau déjà donné, mais limité aux relations d’or,
indiquées en bleu/rouge. Les quelques signes additionnels sont expliqués sur la
page consacrée à ces quatre ensembles.
|
rang |
P1 |
F1 |
|
P2 |
F2 |
|
PF1-2 |
|
24 |
47 |
76 |
66~ |
100~ |
289 |
||
|
1 |
35+ |
27+ |
+34 |
+83 |
179 |
||
|
4 |
39a |
115b |
62a |
71b |
287 |
||
|
14 |
24 |
40 |
43 |
70 |
177 |
De plus ces deux couples de nombres, 287-177 et
289-179, encadrent à une unité près le couple 288-178, correspondant aux
doubles des nombres de Fibonacci 144-89, ainsi ce rapport idéal est atteint en
considérant les 4 tonalités ensemble.
Il me semble évident que si j’avais procédé au
départ à une recherche systématique sur les rapports entre tonalités, au lieu
des rapports à l’intérieur d’une même tonalité, j’aurais été amené à coupler
ces paires 287-177 et 289-179, à partir de quoi j’aurais probablement découvert
les relations internes ci-dessus.
(R2)
– La recherche systématique sur les PF1-2 permet de découvrir deux autres
paires de tonalités, 22-20 avec 283-175 mesures, et 23-2 avec 203-125 mesures.
Une petite harmonie numérique apparaît entre ces deux paires, car le rapport
175/125 se simplifie en 7/5, deux nombres évocateurs en musique : la gamme
chromatique – sur laquelle est construite le Clavier bien tempéré –
compte 7 notes naturelles et 5 notes altérées.
Ce sont les noms de ces tonalités dans la notation
allemande qui attirent l’attention : aux ensembles 22-20-23-2
correspondent les tonalités b-a-H-c (si bémol mineur, la mineur, si
majeur, do mineur). Il aurait été idéal d’avoir B-a-c-h, avec des
nombres de mesures associés permettant d’arriver logiquement à cet ordre
particulièrement significatif, mais b-a-H-c est évocateur en l’état. Il y a 8
tonalités BbCcAaHh parmi les 24, et la probabilité de tirer au hasard 4
tonalités BACH, dans n’importe quel ordre ou mode, serait d’une chance sur 664.
(R1+R2) (ajout du 25/3/8) – A l’occasion du 21/3/8, date
propice, j’ai relu cette page et me suis avisé de ceci :
Les 4 relations d’or venant d’être vues font
intervenir les 3 tonalités totalisant les plus grands nombres de mesures
(289-287-283), et celle en totalisant le moins (125). L’examen conduit à un
équilibre stupéfiant : le total des mesures correspondant à cette dernière
relation d’or (328 = 203+125) correspond à la différence entre les 3 tonalités
les plus lourdes et leurs mineures dorées (289+287+283 –179–177–175 = 328).
Ceci permet de composer 5 relations dorées liées, la mineure de l’une
constituant la majeure de la suivante :
|
rangs |
tonalités |
PF lourds |
Mineures d’or |
|
total
b-a-C-h-4-14 / leurs majeures |
1390 |
859 |
|
|
24-4-22 /
1-14-20 |
h-cis-b
/ C-fis-a |
859 |
531 |
|
1-14-20 / 23-2 |
C-fis-a / H-c |
531 |
328 |
|
23-2 / 23 |
H-c / H |
328 |
203 |
|
23 / 2 |
H / c |
203 |
125 |
Autres curiosités :
- La 2e colonne du tableau ci-dessus fait
apparaître, selon un processus de pure logique, les tonalités bacH, correspondant pour chaque relation à la
tonalité
- Les 3 tonalités mineures des tonalités de
« poids lourd » ont des nombres de mesures en progression
arithmétique, 175-177-179, et ces nombres sont eux-mêmes sommes d’ensembles PF
en même progression de raison 2, 60-62-64 et 113-115-117.
- Au stade suivant d’analyse, le découpage selon
préludes et fugues, ces 6 tonalités se découpent en totaux pour
6 préludes lourds : 321
6 préludes légers : 196
différence : 125
6 fugues lourdes : 538
6 fugues légères : 335
différence : 203
On retrouve ainsi les nombres 203 et 125 de l’autre
paire de tonalités dorées, si bien qu’il y a moyen de former toutes les
relations ci-dessus à l’aide des seules 3 tonalités « poids lourd
maximal » et de leurs mineures, par ces seuls 4 nombres,
321 + 538 et 196 + 335 donnant la séquence
1390-859-531
321 – 196 et 538 – 335 donnant la séquence
328-203-125
- Ce dernier résultat dépend d’une condition
nécessaire et suffisante qui peut s’énoncer ainsi : étant donné que les 3
ensembles lourds totalisent 859 mesures, dont le découpage doré idéal est
531-328 (et les ensembles légers 531 mesures, dont le découpage doré idéal est
328-203), il faut et il suffit que :
6 fugues lourdes = 531+x
6 fugues légères = 328+x
En corollaire on aura 6 préludes lourds = 328–x et 6
préludes légers = 203–x. La valeur particulière de x observée est 7, ce qui a
pour conséquence que les fugues excèdent de 14 le découpage horizontal en
fugues-préludes qui aurait correspondu exactement au découpage doré vertical de
départ, ce qui aurait difficilement pu être attribué au hasard. Mais la
présence du nombre 14 (BACH !) pourrait être jugée significative, d’autant
que le nombre commun en jeu 328 peut lui-même être considéré comme un nombre
bachien (cbh.a), et qu’il apparaît autour de ce nombre 335 (328+7) et 321
(328–7) dont la différence est 14 (la différence des deux autres nombres 538 et
196 est 328+14, en remarquant que 196 est le carré de 14).
- Enfin les 3 tonalités « poids lourd » et
la tonalité « poids plume » étant concernées, on peut songer à un
parallèle avec les rangs des tonalités BACH dans le CBT, Cc en premier (1-2),
AaBbHh à la fin (19-24).
(R3) – Je passe au premier volume seul, où il n’apparaît
que deux paires de relations d’or. La relation additionnelle la plus remarquable
réside dans le découpage interne, que voici, avec les correspondances dans le
second volume :
|
rang |
P1 |
F1 |
PF1 |
|
P2 |
F2 |
PF2 |
|
8 |
40 |
87 |
127 |
36 |
46 |
82 |
|
|
19 |
24 |
54 |
78 |
33 |
29 |
62 |
|
|
15 |
19 |
86 |
105 |
48 |
72 |
120 |
|
|
13 |
30 |
35 |
65 |
75 |
84 |
159 |
|
|
|
113+ |
262+ |
375 |
+192 |
+231 |
423 |
En s’en tenant d’abord au premier volume, il est
assez immédiat que, dans le couple 8-19, le plus pesant, ce ne sont pas seulement
les totaux P+F qui sont en rapport d’or optimal, mais les Préludes entre eux et
les Fugues entre elles.
Dans l’autre couple 15-13, les Préludes sont encore
en rapport d’or optimal, mais selon l’ordre 13-15 inverse de celui 15-13 de la relation
PF.
Ainsi les 4 ensembles PF en rapport d’or ont leurs
Préludes également en rapport d’or, ce qui est déjà une belle propriété, mais
il se trouve encore que les 24-40 mesures des Préludes 19-8 correspondent au
24-40 mesures du PF 14 du premier volume. Y additionner les 19-30 des Préludes
15-13 conduit au 43-70 du PF 14 du second volume ! Je rappelle que ce sont
les rapports d’or dans les deux PF 14 qui ont suscité mon étude sur les
rapports entre tonalités, avec au départ cette dimension supplémentaire
apportée par la présence du 14 correspondant au nombre de BACH (2-1-3-8).
Par ailleurs les tonalités en cause sont presque
symétriques par rapport à 14. Le couple 13-15 est idéal, et on pourrait un
temps regretter que l’autre couple ne soit pas 20-8, par exemple, mais tels
quels, les numéros des tonalités recèlent une autre belle possibilité. En
couplant les Préludes de poids fort, les tonalités 8 et 13 totalisent 21,
tandis que les autres tonalités 19 et 15 totalisent 34 ; 21 et 34 sont des
nombres de Fibonacci, en rapport d’or idéal, mais inverse à celui des Préludes
totalisant 70 et 43 mesures. Cette inversion rappelle étrangement celle des
Préludes 15-13.
Un des premières choses qui vient à l’esprit après
le constat de ce magnifique équilibre est de regarder ce qui se passe dans les
tonalités correspondantes du second volume. La conséquence la plus remarquable
de cette confrontation est le rapport d’or optimal entre Préludes et
Fugues :
– 8 Préludes = 113 + 192 = 305
– 8 Fugues = 262 + 231 = 493
La section d’or du total 798 est 493.19…
s’arrondissant à 493.
Il est prodigieux que cet équilibre soit présent à
l’intérieur des deux couples distingués au départ :
– les ensembles 8-19 totalisent 349 mesures dont le
partage optimal 133-216 est effectivement réalisé pour les 4 Préludes et 4
Fugues ;
– les ensembles 15-13 totalisent 449 mesures dont le
partage optimal 172-277 est effectivement réalisé pour les 4 Préludes et 4
Fugues.
A remarquer la corrélation avec les tonalités 1-14
de poids faible dans le couple de paires 24-1-4-14 pour l’ensemble des deux
volumes, où les sommes pour les 4 Préludes (136) sont aussi en rapport d’or
avec les sommes pour les 4 Fugues (220).
Le total 798 peut se factoriser en 21 x 38, ce qui
lui confère un statut de nombre bachien privilégié.
(R4) – L’examen des paires de
tonalités en rapport d’or dans le second volume révèle un couple immédiat. Dans
ma première page sur Bach en 2001 je donnais déjà le tableau
des deux volumes du Clavier bien tempéré, et j’y remarquais ce qui me
semblait d’emblée le plus frappant : dans les deux tonalités de mi,
majeure et mineure, ou 9 et 10, on passe du simple au double, de 54-43 à
108-86, ce rapport se retrouvant jusque dans les reprises des Préludes en 24-30
et 48-60 mesures.
Ce passage du simple au double est évident, mais il
l’est beaucoup moins de trouver une signification aux nombres en jeu, 97 et 194
sans les reprises des Préludes, 151 et 302 avec.
Ce n’est qu’après avoir établi le tableau ci-dessous,
complété par les sections d’or des totaux, que j’ai enfin vu cette jolie
propriété : il n’y a que deux autres tonalités offrant un pareil
doublement, 20 et 15 avec respectivement 60 et 120 mesures, et 60 et 120 sont
en rapport d’or avec 97 et 194, en bon rapport même car 60/97 = 0.6185…
Ce cas est particulièrement frappant car il concerne
l’anomalie structurelle la plus patente des deux volumes, celle qu’on ne peut
manquer dès qu’on y étudie les nombres de mesures. Pour remarquables qu’ils
soient, les autres cas nécessitent une approche d’or préalable pour révéler
leurs propriétés annexes, alors qu’ici c’est une bizarrerie immédiate qui peut
amener à découvrir les rapports d’or.
Il convient de regarder ce qui se passe dans les
tonalités correspondantes du premier volume, ce qui révèle encore une
formidable corrélation. Les tonalités 9-10 totalisent 136 mesures, les
tonalités 15-20 220, dont 136 est la section d’or. Voici sous forme de tableau,
limité au couplage des tonalités 9-10 et 15-20 :
|
rang |
P1 |
F1 |
PF1 |
|
P2 |
F2 |
PF2 |
|
9-10 |
65 |
71 |
136 |
162 |
129 |
291 |
|
|
15-20 |
47 |
173 |
220 |
80 |
100 |
180 |
|
|
|
112 |
244 |
356 |
242 |
229 |
471 |
Ce rapport des tonalités 9-10/15-20, inverse de celui
du second volume, est encore très bon, correspondant aux nombres de Fibonacci
55 et 34 multipliés par 4, très proche du rapport 60/97 : 34/55 = 0.6181…
(R5)
– L’examen du tableau révèle deux autres paires en rapport d’or, 11-5 avec 171-106
mesures, 4-8 avec 133-82 mesures.
L’analyse la plus marquante me semble devoir partir
du fait qu’une paire touche des tonalités majeures, l’autre des mineures. Ceci
n’est pas absolument remarquable, les possibilités étant ici limitées, mais
c’est le premier cas qui se présente, et l’approfondissement amène une réelle
curiosité.
Les différences des tonalités majeures sont de 6
tonalités, celles des mineures de 4 tonalités, or les tonalités majeures sont F
et D, qui sont aussi les lettres de rang 6 et 4, et les tonalités
mineures sont cis et dis, s’écrivant avec 4 et 6 dièses. De plus cis
est la tonalité 4.
Voilà donc les principales propriétés associées aux
cinq couples de paires en rapport d’or, les principales à mon avis du moins.
J’ai essayé de me limiter à l’essentiel, mais je n’ai pu me résigner à taire
quelques autres remarques qu’on trouvera ici.
Quant à l’interprétation de cette
« preuve » par les paires, c’est une autre paire de manches.
Note du 25/3/8 : Ce qui suit est écrit avant la
découverte de la sixte d’or 1390-859-531-328-203-125.
Pour ma part je suis particulièrement frappé par les
relations d’or parfaites apparues dans l’ensemble des deux volumes, à partir
des relations d’or non moins parfaites (R3) et (R4) découvertes dans le premier et le second
volume. Je rappelle que ce sont des relations d’or horizontales dans les
tonalités 1-4-14-24 qui m’ont amené à découvrir les relations verticales parfaites
entre les paires de tonalités 4-14 et 24-1, mais les relations horizontales de
départ ne constituaient pas un ensemble homogène, quoique suffisant pour
m’avoir fait découvrir la relation (R1), et je ne vois pas
comment qualifier le fait que cette imperfection ait pu conduire à la
découverte des relations parfaites (R3) et (R4).
Il est possible de réviser la formulation concernant (R1)
pour dégager une formidable convergence de ces trois principales relations,
étant entendu qu’elles sont au départ distinguées comme les meilleurs couples
de paires de tonalités selon les trois possibilités (deux livres ensemble ou
chaque livre seul) :
– (R1) : dans les tonalités
de poids faible 1-14 les 4 Préludes ensemble sont en rapport d’or parfait avec
les 4 Fugues ensemble, selon les totaux 136-220 ;
– (R3) : les 8 Préludes
ensemble dans les deux volumes sont en rapport d’or parfait avec les 8 Fugues
ensemble, ceci étant valable également pour chaque paire de 4 Préludes et 4
Fugues ;
– (R4) : à la relation
parfaite du second volume entre les tonalités 9-10 et 15-20 correspond une
relation parfaite inverse dans le premier volume, selon les totaux 136-220.
Ceci omet quelques propriétés complémentaires vues
plus haut, mais cette approche limitée permet de découvrir une relation
d’ensemble pour les « 48 », comme on nomme couramment le Clavier bien
tempéré :
– (R3) et (R4)
ensemble concernent 7 tonalités, puisque la tonalité 15 est présente dans les
deux groupes ; ces 7 tonalités ou 14 ensembles PR totalisent 1400 mesures
tout juste (ce qui a tout pour séduire ceux qui sont attentifs au nombre 14 de
BACH) ;
– les 4 tonalités ou 8 ensembles PR de (R1) totalisent
932 mesures, à propos desquelles je ne
vois rien à ajouter, le remarquable venant des 13 tonalités restantes, ou 26
ensembles PR, totalisant 2800 mesures, le double de 1400.
J’avais déjà noté, sur ma page
consacrée à ce que j’appelle maintenant (R1), les 4200
mesures des 20 tonalités ou 40 ensembles PR, et quelques propriétés
remarquables associées.
C’est une autre curiosité de trouver ce 4200 réparti
en 1400-2800 grâce à une distinction concernant en partie les doubles, avec (R4).
Je notais entre autres que 4200 pour 40 ensembles PR
donnait une moyenne exacte de 105 mesures, or le premier ensemble PF de la
tonalité 15, commune aux deux relations (R3) et (R4),
a précisément 105 mesures. Mieux, cette tonalité 15 m’est parue d’emblée comme
la plus immédiatement significative à mon premier examen des nombres de mesures
du CBT, car son total est 225, carré de 15, obtenu de plus selon une formule
« pythagoricienne » qui faisait partie du cursus mathématique du
temps de Bach :
PF1-15 + PF2-15 = 105 + 120 = 225 = carré(15)
225 est ce qu’on appelait alors un « nombre
figuré », or 105 et 120 le sont aussi, ce sont des triangulaires, ou
triangles, de 14 et 15, et l’égalité ci-dessus correspond à un cas particulier
d’une formule générale :
triangle(n–1) + triangle(n) = carré(n)
le 7/11/06, Rémi Schulz
|
|
P1 |
F1 |
PF1 |
φ |
|
P2 |
F2 |
PF2 |
φ |
|
PF12 |
φ |
|
1 |
35 |
27 |
62 |
38 |
C
|
34 |
83 |
117 |
72 |
1 |
179 |
111 |
|
2 |
38 |
31 |
69 |
43 |
c |
28 |
28 |
56 |
35 |
2 |
125 |
77 |
|
3 |
104 |
55 |
159 |
98 |
Cis |
50 |
35 |
85 |
53 |
3 |
244 |
151 |
|
4 |
39 |
115 |
154 |
95 |
cis |
62 |
71 |
133 |
82 |
4 |
287 |
177 |
|
5 |
35 |
27 |
62 |
38 |
D |
56 |
50 |
106 |
66 |
5 |
168 |
104 |
|
6 |
26 |
44 |
70 |
43 |
d |
61 |
27 |
88 |
54 |
6 |
158 |
98 |
|
7 |
70 |
37 |
107 |
66 |
Es |
71 |
70 |
141 |
87 |
7 |
248 |
153 |
|
8 |
40 |
87 |
127 |
78 |
dis |
36 |
46 |
82 |
51 |
8 |
209 |
129 |
|
9 |
24 |
29 |
53 |
33 |
E |
54 |
43 |
97 |
60 |
9 |
150 |
93 |
|
10 |
41 |
42 |
83 |
51 |
e |
108 |
86 |
194 |
120 |
10 |
277 |
171 |
|
11 |
18 |
72 |
90 |
56 |
F |
72 |
99 |
171 |
106 |
11 |
261 |
161 |
|
12 |
22 |
58 |
80 |
49 |
f |
70 |
85 |
155 |
96 |
12 |
235 |
145 |
|
13 |
30 |
35 |
65 |
40 |
Fis |
75 |
84 |
159 |
98 |
13 |
224 |
138 |
|
14 |
24 |
40 |
64 |
40 |
fis |
43 |
70 |
113 |
70 |
14 |
177 |
109 |
|
15 |
19 |
86 |
105 |
65 |
G |
48 |
72 |
120 |
74 |
15 |
225 |
139 |
|
16 |
19 |
34 |
53 |
33 |
g |
21 |
84 |
105 |
65 |
16 |
158 |
98 |
|
17 |
44 |
35 |
79 |
49 |
As |
77 |
50 |
127 |
78 |
17 |
206 |
127 |
|
18 |
29 |
41 |
70 |
43 |
gis |
50 |
143 |
193 |
119 |
18 |
263 |
163 |
|
19 |
24 |
54 |
78 |
48 |
A |
33 |
29 |
62 |
38 |
19 |
140 |
87 |
|
20 |
28 |
87 |
115 |
71 |
a |
32 |
28 |
60 |
37 |
20 |
175 |
108 |
|
21 |
20 |
48 |
68 |
42 |
B |
87 |
93 |
180 |
111 |
21 |
248 |
153 |
|
22 |
24 |
75 |
99 |
61 |
b |
83 |
101 |
184 |
114 |
22 |
283 |
175 |
|
23 |
19 |
34 |
53 |
33 |
H |
46 |
104 |
150 |
93 |
23 |
203 |
125 |
|
24 |
47 |
76 |
123 |
76 |
h |
66 |
100 |
166 |
103 |
24 |
289 |
179 |
|
|
819 |
1269 |
2088 |
|
1363 |
1681 |
3044 |
|
|
5132 |
|
|
Les 2 volumes du Clavier bien tempéré, de 1722 et 1744. Les nombres de mesures sont ceux donnés par l’édition Könemann, actuellement la plus courante, contrôlés sur diverses éditions, dont la plus récente édition critique.
Je précise bien ce point, car d’autres auteurs (comme Van Houten, Kellner) avancent des nombres parfois différents, probablement parce qu’ils appuient mieux leurs thèses. La seule liberté que je me suis permise est de ne pas comptabiliser les reprises des Préludes (les 11 Préludes concernés sont soulignés).
Le nombre PF en bleu est donc l’addition immédiate des nombres P et F. Le nombre en rouge qui le suit est la section d’or arrondie du nombre PF, chaque fois calculée selon la formule int(PF x 0.618034 + 0.5)
En ce qui concerne la totalité des huit tonalités en rapport d’or dans
les deux volumes réunis, il est remarquable que six d’entre elles soient des
tonalités BACH (1-2-20-22-23-24). Quant aux deux autres, 4-14, j’avais écrit
avant de connaître la paire 20-22 ou b-a que ces rangs pouvaient évoquer
les 4 lettres BACH de valeur 14, ce que la complétude des tonalités BACH ne
peut que souligner.
La somme des rangs de ces huit tonalités est 110, soit le double de 55,
somme des rangs des quatre tonalités en rapport d’or dans le premier volume
seul. Comme dans ce cas, la moyenne est proche de 14, la tonalité phare pour
les coïncidences d’or internes, et comme dans ce cas, l’écart par rapport à
l’idéal (ici 112 = 8 x 14) permet d’envisager une relation fibonacienne idéale.
Ici, la paire au rapport le plus proche de phi est la paire 22-20, de somme 42,
reste 68 avec 42/68 = 21/34. C’est encore une curiosité que cette paire soit
constituée des tonalités b-a, que la numérologie bachienne fusionne
volontiers en ba = 21.
Le total des mesures pour ces huit tonalités est 1718, double de 859 qui est le numéro BWV du PF 14 du premier volume. Je conviens qu’il ne peut s’agir que d’un « hasard », mais je suis plutôt convaincu que la plupart des relations exposées ici relèvent du même genre de « hasard », un genre plutôt opiniâtre, et ce doublement du BWV 859 me rappelle la première loi « scientifique » que j’avais énoncée lors de ma première approche dorée du CBT, à propos de ce Prélude (859a) et de cette Fugue (859b) :
En doublant la pièce 14,
le total des 24 pièces donne le 14e terme d’une suite
de type Fibonacci.
Les poids forts des couples de paires constituant ces huit tonalités
sont 576 pour 4-24 et 486 pour 22-23, soit des nombres dont les facteurs sont
uniquement 2 et 3. Les gammes platoniciennes du Timée sont uniquement
constituées de rapports entre nombres de ce type. Je m’abstiens de plonger plus
avant dans cette Ame du monde du Timée, pour remarquer que la somme de ces
nombres, 1062 constituant donc la grande section d’or du total 1718, se
factorise 2.3.3.59, avec 59 nombre « bachien » car égal à 21+38,
tandis que la petite section 656 se factorise en 2.2.2.2.41, avec 41 nombre bachien
encore, valeur de JS BACH.
Note du 25/3/8 : Les lignes ci-dessus étaient
écrites avant la découverte que 859 était la somme des 3 tonalités de poids
fort, ouvrant vers la sixte d’or 1390-859-531-328-203-125.
Concernant (R3), il me semble remarquable que la relation finale entre les 8 Préludes
et 8 Fugues soit fortement déséquilibrée d’un volume à l’autre, et les nombres
en jeu valent d’être commentés. On passe de 375 à 423 mesures, soit un apport
de 48, ou encore des écarts à la moyenne de 24 : le CBT, ou les
« 48 », est constitué de deux fois 24 ensembles PR.
Les 192 mesures des 4 P2 correspondent à 4x48, 48 étant le nombre de
mesures de P2-15. On trouve par ailleurs 24 mesures pour le P1-19 ; sans
ces 24 et 48, les totaux donnent 113 – 24 = 89 et 192 – 48 = 144, les nombres
de Fibonacci 89-144 correspondant au parfait rapport entre les tonalités 1-14
et 4-24 (R1).
Les différences entre les Préludes sont 192 – 113 = 79, celles entre
les Fugues sont 231 – 262 = – 31. En valeur absolue, ces différences
additionnées donnent 110, moyenne 55, somme des rangs des tonalités en
jeu.
Le rapport 60/97 de la relation (R4) prend une extraordinaire
signification si l’on accorde quelque crédit à la thèse développée par Guy
Marchand dans Bach ou la Passion selon Jean-Sébastien, sinon c’est au
moins une formidable coïncidence. Cette « Passion » est selon lui la
fugue de la suite BWV 997 autour de laquelle il axe toute son analyse du nombre
d’or chez Bach. Cette fugue se compose d’une première section de 48 mesures,
d’une seconde de 60 mesures, et de la reprise de la première section ;
Marchand résume en 60 + 48x2 = 156, ou (5 + 8)x12 = 13x12, où il retrouve les
nombres de Fibonacci 5-8-13.
Or si l’on suit la transcription de la fugue donnée par Marchand
lui-même, en la complétant par la reprise de la première section, on tombe
obligatoirement sur une mesure finale numérotée 157. Ceci s’explique facilement
(la seconde partie est enchaînée directement après l’accord final de la
première, mais cet accord doit être tenu en point d’orgue final lors de la
reprise) et ne signifie pas que Marchand ait tort, mais c’est un fait qu’il est
plus facile de considérer la fugue comme 48 + 60 + 49, conduisant au rapport
d’or 97/60 meilleur que 96/60, ce qui ne nuirait en rien à sa thèse.
D’autant que suivre Marchand sur ce point revient à dire que le rapport
courant 4/5 pourrait être assimilé à la moitié du nombre d’or, et donc y être
relié. Or c’est précisément ce rapport qui apparaît dans les deux Préludes en
mi du second volume, découpés en 24-30 et 48-60. Mieux, dans son décompte des
mesures de Bach et le nombre, Van Houten donne 156 mesures pour le
Prélude en mi mineur, en ne doublant que la première partie du Prélude car elle
se termine sur une mesure variant à la reprise (c’est le seul cas pour tout le
CBT).
Enfin ce rapport 4/5, se retrouve en couplant les paires 20-15 (en
rapport d’or avec les paires en mi 9-10), soit 32-28 + 48-72 = 80-100. Ainsi si
les deux Préludes étaient à reprises, la musique exécutée donnerait un 160-100
équivalent à 8-5, propre à combler Marchand, mais seul le Prélude 20 est à
reprises.
Dans le premier volume, ce bon rapport 97/60 devient 34/55.
Il est remarquable que 34 et 55 soient les 9 et 10es termes
de la série de Fibonacci, tandis que ces tonalités 9-10 s’écrivent aussi Ee,
soit 55 selon le principe qui a permis plus haut de passer de ba à 21.
J’ai programmé quelques vérifications pour confirmer l’exemplarité de
la relation (R4).
Ainsi, en se basant sur le critère d’avoir la somme des deux tonalités majeure
et mineure d’un même ton en rapport d’or avec la somme de deux tonalités
quelconques, il existe 231 possibilités à considérer pour chaque ton. Dans le
cas du ton Ee, seules les tonalités 15-20 remplissent la condition, dans l’un
comme dans l’autre volume.
Les 2772 possibilités à considérer pour la totalité des 12 tons livrent
12 résultats pour le premier volume et 15 pour le second ; la seule
correspondance parmi ces deux groupes est celle de la relation (R4).
Il n’y a qu’un seul couple de paires dans le premier volume, 8-19 et
13-15 totalisant 375 mesures, et le plus « intéressant » du second volume
est clairement celui formé par les « doubles », 9-20 et 10-15,
totalisant 471 mesures. Ensemble ces deux couples de paires totalisent 846
mesures, 846 étant encore le numéro BWV du premier PF du CBT, mais ce n’est pas
que ça et la page citée plus haut donnait plusieurs relations impliquant ce
nombre dans le premier volume du CBT, avec notamment une relation au
double : les 24 fugues totalisent 1269 mesures harmonieusement réparties
en 423 pour les 8 premières et 846 pour les 16 dernières, le double.
C’est pour moi une surprise de retrouver ce nombre 846 englobant les
tonalités « doubles » du second volume, alors que 423 est apparu plus
haut pour les tonalités 8-19-13-15 correspondant dans le second volume aux
relations d’or entre tonalités du premier, précisément incluses dans ce 846.
Jusqu’ici la seule chose qui m’était apparue concernant les mystérieux
doublements des tonalités 9-10 était une relation gématrique sur les fugues,
avec, selon l’alphabet de 24 lettres prêté à Bach :
43 = ich lebe, « je
vis »
86 = ich sterbe,
« je meurs »
Or mes études hébraïques antérieures m’avaient fait noter la relation,
selon la gématrie traditionnelle :
423 = tahayah, « tu vivras » (ou « tu vis »
car l’hébreu ne possède que deux temps)
846 = tamout, « tu mourras » (ou « tu
meurs »)
Une belle relation d’ensemble sur les 3 paires de tonalités en rapport
d’or de poids le plus fort dans les trois ensembles étudiés :
127- 78 pour la paire 8-19 du
premier volume
194-120 pour la paire 10-15 du second volume
289-179 pour la paire 24-1 des deux volumes réunis
- - - - - - le tout livrant le
magnifique total :
610-377, une paire fibonacienne donnant le nombre d’or (1.618034…) avec
5 décimales, 610/377 = 1.618037…
J’ai défini ailleurs le « rapport d’or optimal » entre deux
nombres entiers A et B lorsque la somme A+B se répartit selon la section d’or
en A et B (après arrondissement aux entiers les plus proches).
Cette définition me semblait justifiée pour des cas comme les 24-40
mesures du PF1-14, elle est contestable lorsqu’il s’agit de chercher des
correspondances dans un grand ensemble. Toutefois je ne veux pas cacher que le
tableau ci-dessus ne permet de découvrir que les cas où A est la section d’or
de B, et que pour avoir tous les « rapports optimaux » il est
nécessaire d’affiner les calculs lorsqu’il apparaît des différences d’une unité
dans les possibilités de correspondance.
Ceci révèle trois autres cas, tous dans le second volume : les
184-113 mesures des tonalités 22-14, les 193-120 mesures des tonalités 18-15
(cette dernière était déjà apparue par le meilleur rapport 194-120 des
tonalités 10-15), et les 171-105 mesures des tonalités 11-16 (la première était
déjà apparue par le meilleur rapport 171-106 des tonalités 11-5).
Le couplage de 22-14 et 18-15 mène à une autre fabuleuse piste que je
commence à explorer ici.